算法训练 最大最小公倍数(数论)

问题描述

已知一个正整数N,问从1~N中任选出三个数,他们的最小公倍数最大可以为多少。

输入格式

输入一个正整数N。

输出格式
输出一个整数,表示你找到的最小公倍数。
样例输入
9
样例输出
504
数据规模与约定

1 <= N <= 106。

 

思路:若n 和 n-1和n-2 三个数 两两互质的话,那么结果就是这三个数的积。

根据数论知识:任意大于1的两个相邻的自然数都是互质的.
我们可以知道,当n是奇数时,n 和n-2都是奇数,n-1是偶数,那么他们三个的公约数肯定不是2,而因为这三个数是连续的,所以大于2的数都不可能成为他们或其中任意两个数的公约数了.结果就是他们三个的乘积.

标记1
而当n为偶数时,n*(n-1)*(n-2)肯定不行了,因为n和n-2都是偶数,那么只能将n-2改成n-3,即n*(n-1)*(n-3),如果这三个数两两互质那么肯定就是结果了.

标记2
但是因为n和n-3相差3,所以当其中一个数能被3整除时,另一个肯定也可以.而当其中一个不可以时,另一个肯定也不可以.而因为n为偶数,n-3为奇数,所以2不可能成为他俩的公因子。对于大于3的数,肯定就都不可能成为这三个数或者其中任意两个数的公约数了.因此只需再对3进行判断:

标记3
如果n能整除3,那么,n*(n-1)*(n-3)就肯定不行了,因为n和n-3有了公约数3,结果肯定小了,那么就只能继续判下一个即n*(n-1)*(n-4)而这样n-4又是偶数,不行继续下一个n*(n-1)*(n-5) = n^3 -6*n^2 + 5*n 而如果这个可以 那个其值肯定要小于(n-1)*(n-2)*(n-3) = n^3 -6*n^2+11n-6(对于n>1来说都成立),而(n-1)*(n-2)*(n-3)由上一个奇数结论可知是一个符合要求的,因此到n-5就不用判断了。直接选答案为(n-1)*(n-2)*(n-3);

标记4
而n不能整除3,那么结果就是n*(n-1)*(n-3),因为n和n-3都不能整除3,此时n-1能不能整除3都无关紧要了.而对于其它数 都是不可能的.上面已证.

 

AC代码:

#include<stdio.h>

int main()
{
    long long n;
    scanf("%lld", &n);

    long long temp;
    if(n%2 == 0)
    {
        temp = (n-1)*(n-2)*(n-3);
        int judge = 3;
        while(n%judge == 0)
        {
            judge++;
            judge++;
        }
        long long k = n * (n-1) * (n - judge);
        if(temp > k)
            printf("%lld", temp);
        else
            printf("%lld", k);
    }
    else
    {
        long long ans = n*(n-1)*(n-2);
        printf("%lld", ans);
    }

    return 0;
}
View Code

代码来源

 

posted @ 2018-02-08 23:53  Veritas_des_Liberty  阅读(472)  评论(0编辑  收藏  举报