DP 总集

决策单调性/四边形不等式

满足四边形不等式（交叉\(\leq\)包含）,即满足 \(a \leq b \leq c \leq d\) 时， \(w(a, c)+w(b,d) \leq w(a,b) + w(c, d)\) 的满足决策单调性。

大约有几种写法：

• 分治：适用于相邻层之间转化

例题：The Bakery

考虑求出 \(f[i][k]\) \((1\leq i \leq n)\) 的值：

分治 \((l, r, x, y)\) 表示 \(f[i][k]\) \((l\leq i\leq r)\) 的决策点在 \(x\leq j\leq y\) 之间，枚举 \(mid = l + r >>1\)，求出其决策点 \(z\) ，然后递归解决 \((l,mid-1,x,z),(mid+1,r,z,y)\)。

• 单调队列：适用于同一层的转换

例题：诗人小G

考虑维护一个单调队列里面有每个决策点，其中 \(t[i]\) 每个决策点 \(Mamba\) \(Out\) 的下标（时间）。

考虑怎么加入一个决策点：如果 \(r-1\) 的 \(Out\) 时间比加入决策点 \(i\) 后 \(r\) 的 \(Out\) 时间后的话，我们把 \(r\) 从单调队列中肘出去。一直到满足条件时才把当前决策点加入。

考虑最优决策点？队头就是！