# 数论例题选讲（题面版）

数论例题选讲（题面版）

---

（都是水题，PJ难度）

题目一：[CQOI2007]余数求和]

题意：求\(\sum_{i=1}^k n \mod i\) (n,k<=10^9)
https://www.luogu.org/problemnew/show/2261

题目二：[hdu2866][Special Prime]

https://vjudge.net/problem/HDU-2866
题意：在区间[2,L]内，有多少个素数p，满足方程\(n^3+n^2p=m^3\)有解。\((l<=10^6)\)

题目三：

http://poj.openjudge.cn/practice/1046/
题意：给定b，求最大的a,使\(a(a+b)=m^2\)有解，\(b<=10^9,T<=10^3\)

题目四：[[bzoj4403]序列统计]

(http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4403)
给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对10^{6+3取模的结果。(N,L,R<=10}9)

题目五：

http://poj.org/problem?id=2480
题意：求\(\sum_{i=1}^n gcd(i,n),n<=10^9\)

题目六：[[JSOI2008]球形空间产生器]

(http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1013)
n维空间内，有一个球体，给你球上n+1个点的坐标，求球的圆心。

题目七：[[HNOI2017]礼物]

(https://www.luogu.org/problemnew/show/3723)
有两个序列\(a_i,b_i\)需要旋转序列\(b_i\)使得\(\sum_{i=1}(a_i-b_i+C)^2\)最小。

题目八：[[ZJOI2014]力]

(https://www.luogu.org/problemnew/show/P3338)
给出n个数qi，给出Fj的定义如下：

\[F_j=\sum_{i < j}{q_iq_j \over (i-j)^2}-\sum_{i>j}{q_iq_j \over (i-j)^2} \]

令Ei=Fi/qi，求Ei.

题目九：：[[bzoj2440][中山市选2011]完全平方数]

(http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2440)
求第k个不是完全平方数（不包括1）倍数的数.(k<=10^9，多组数据)

题目十：[[bzoj4591]超能粒子炮改]

(http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4591)
求$\sum_{i=0}^k C(n,i) \mod 2333 $(n,k<=10^18)

题目十一：[[bzoj2301][HAOI2011] Problem B]

(http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2301)
对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。（都小于等于50000）

题目十二：[[bzoj2154]Crash的数字表格]

(http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2154)
求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\),n,m<=10^7

题目十三：[[bzoj3994][SDOI2015]约数个数和]

(http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3994)
令d(x)代表x的约数个数和。
求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m d(ij)\),n,m,t<=50000。

题目十四：[[bzoj4816][Sdoi2017]数字表格]

(http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4816)
\(\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m f[gcd(i,j)],f_i为fibonacci数列,f[1]=f[2]=1\)
T<=1000,n,m<=10^6

题目十五：[51nod 1239]欧拉函数之和

(https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239)
\(\sum_{i=1}^n \varphi(i)\),n<=10^10

题目十六：[51nod 1220 约数之和]

https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1220
令d(x)为x的约数之和
\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n d(ij)\)
n<=10^9

题目十七：[51nod 1222]最小公倍数计数

https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1222
输出最小公倍数在[a,b]之间的无序二元组(x,y)(x<=y)的个数。
a,b<=10^11

题目十八：[51nod 1227] 平均最小公倍数

https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1227
\(A(n)={\sum_{i=1}^n lcm(i,n) \over n}\)
求\(\sum_{i=a}^b A(i)\)
a,b<=10^9