卡特兰数和超级卡特兰数

卡特兰数和超级卡特兰数

---

这篇博客主要是想讲一下超级卡特兰数(大施罗德数),顺带就想讲一下卡特兰数.

卡特兰数

定义

卡特兰数记为\(C_n\)
\(C_1=1\)
\(\forall n \geq 2, C_n=\sum_{i=1}^{n-1}C_i C_{n-i}\)

前几项大概是: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132......

直接递推未免效率太低,我们考虑用生成函数优化.
显然有\(C(x)=C(x)^2+x\)
解得\(C(x)={1-(1-4x)^{\frac 1 2}\over 2}\)
将\((1-4x)^{\frac 1 2}\)用广义二项式定理展开
得到\(C(x)\)中\(x^n\)项系数为\(\frac 1 n \binom {2n-2}{n-1}\)

组合意义

1.\(n+1\)边形的三角剖分方案数.
注意到任意三角形一定是某一条边在多边形上,然后再选一个不是这条边的端点的点,而且注意到这样一个三角形不会被计算两次,所以会得到一个类似于卡特兰数的递推式.
如果直接枚举一条边然后分成两边的话,是算不对的,因为可能一个点不与多边形上任意非相邻点连边.如果要强行这么算的话,那就得枚举所有的边然后除以算重的次数.

2.\(n\)个数的连乘积,只用结合律(加括号)来改变乘法顺序,问有多少中乘法的顺序.
考虑枚举最后是哪两个数相乘,不难发现是卡特兰数的形式.

3.\(n-1\)对括号的括号序列的合法方案数.
枚举第一个左括号所对应的右括号的位置即可.

4.从(0,0)到(n-1,n-1),每次只能往右或往上走,求不超过\(y=x\)这条直线的方案数.
考虑第一步肯定是往右边走,然后枚举第一个经过\(y=x\)这条直线的位置.
另外一种思路,将条件变成不经过\(y=x+1\)这条直线,那么寻找(0,0)关于\(y=x+1\)的对称点
(-1,1),显然每一条从(0,0)到(n-1,n-1)的不合法路径对应一条从(-1,1)到(n-1,n-1)的不合法路径.

超级卡特兰数

记超级卡特兰数为\(S_i\)
有\(S_1=1\)
\(\forall i \geq 2,S_i=S_{i-1}+\sum_{i=1}^{n-1}S_iS_{n-i}\)

写成生成函数的形式是\(S(x)=xS(x)+S(x)^2+x\)
解得\(S(x)={1-x - \sqrt{x^2-6x+1} \over 2}\)

如果还是用广义二项式定理展开的话,经过复杂化简,可以得到\(S_n=\sum_{i=1}^n \binom {n+i-1} {2i}C_i\),后面我们可以看见,这个式子有着清晰的组合意义.

不过网上还有一种\(O(n)\)递推的方法,简而言之就是快速求出\(\sqrt{x^2-6x+1}\)

接下来给出的一种方法,可以在\(O(nk)\)的复杂度快速求出k次多项式开方后前n项的值
设要开方的多项式为\(P(x)\),开方后的多项式为\(F(x)\).
有\(F(x)=P(x)^{\frac 1 2}=\sum_{i=0}^{\infty} f_i x^i\)
两边求导,可得\(F'(x)=\frac 12 P(x)^{-\frac 12} P'(x)\)
有\(F(x)P'(x)=F'(x)P(x)\)
对比每一项系数,不难得到k+1项的递推式.

最后给出递推公式:\((n+1)f_{n+1}=(6n-3)f_n-(n-2)f_{n-1}\),不过要注意这个递推公式除了第一项其他的项都是超级卡特兰数的\(\frac12\)

组合意义

相比卡特兰数,超级卡特兰数的唯一区别就是在递推的时候加了一个\(S_{n-1}\),那么其组合意义也可以看做是卡特兰数的扩展.

1.\(n+1\)边形的任意剖分方案数.
还是考虑枚举一条多边形上的边,那么有可能这条边仍然与另一个点拉成一个三角形,也有可能这条边上没有,那么把这两种加起来就是定义的递推式

2.括号序列,每个位置可能左括号,右括号和0.括号对数与0的个数之和为n-1, 问合法的括号序列数.
同样枚举第一个是左括号还是0.
值得一提的是,可以看成先插括号再插0,那么枚举括号对数i,0有n-i-1个,需要放入2i+1个位置中,那么不难得到上面通过广义二项式推出来的式子.

3.从(0,0)到(n-1,n-1),每次能往右,往上,往右上走,求不超过\(y=x\)这条直线的方案数.
枚举第一次是走右上还是走右.
同样使用容斥思想,把答案转化为从(0,0)到(n-1,n-1)减去(-1,1)到(n-1,n-1).
那么从(0,0)到(n,m)的路径条数怎么求呢.可以考虑枚举往右上的次数,然后还是考虑先走右和上,然后再把走右上的插入即可.