【题解】Loj 3300「联合省选 2020 A」组合数问题

题目描述

众所周知，小葱同学擅长计算，尤其擅长计算组合数。小葱现在希望你计算

\[\left(\sum_{k=0}^{n}f(k)\times x^k\times \binom{n}{k}\right)\bmod p \]

的值。其中 \(n\), \(x\), \(p\) 为给定的整数，\(f(k)\) 为给定的一个 \(m\) 次多项式 \(f(k) = a_0 + a_1k + a_2k^2 + \cdots + a_mk^m\)。

\(\binom{n}{k}\) 为组合数，其值为 \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)。

数据范围

对于所有测试数据：\(1\le n, x, p \le 10^9, 0\le a_i\le 10^9, 0\le m \le \min(n,1000)\)。

题解

前置知识

我们考虑这样一个下降幂单项式：

\[k^\underline{m}=\prod_{i=k-m+1}^ki \]

让它和组合数相乘，会得到一个优美的式子：

\[\binom{n}{k}\times k^\underline{m}=\binom{n-m}{k-m}\times n^\underline{m} \]

证明的话是显然的，把组合数展开约一下分就好了。

本题解法

那么题目中的 \(f(x)\) 可以转化为下降幂多项式：

\[\begin{aligned} f(k)&=\sum_{i=0}^ma_ik^i\\ &=\sum_{i=0}^mb_ik \end{aligned} \]

则题目中的式子

\[\begin{aligned} \sum_{k=0}^nf(k)\times x^k\times \binom{n}{k} &=\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^ma_ik^i\times x^k\times \binom{n}{k}\\ &=\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^mb_ik^\underline{i}\times x^k\times \binom{n}{k}\\ &=\sum_{i=0}^mb_in^\underline{i}\sum_{k=0}^n\binom{n-i}{k-i}x^k \end{aligned} \]

发现如果 \(i>k\) 的话，里面的值就直接为 \(0\) 了，于是内层求和改成枚举 \(k-i\)：

\[\sum_{i=0}^mb_in^\underline{i}\sum_{k=0}^{n-i}\binom{n-i}{k}x^{k+i}=\sum_{i=0}^mb_in^\underline{i}x^i\sum_{k=0}^{n-i}\binom{n-i}{k}x^k \]

套一下我们小学二年级（雾）就学过的二项式定理：

\[\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n-i}\binom{n-i}{k}x^k &=\sum_{k=0}^{n-i}\binom{n-i}{k}x^k1^{n-i-k}\\ &=(x+1)^{n-i} \end{aligned} \]

于是题目的式子就变成了

\[\sum_{i=0}^mb_in^\underline{i}x^i(x+1)^{n-i} \]

而

\[x^n=\sum_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^\underline{i} \]

所以有：

\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^ma_ik^i&=\sum_{i=0}^ma_i\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}k^\underline{j}\\ &=\sum_{i=0}^mk^\underline{i}\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix}j\\i\end{Bmatrix}a_j \end{aligned} \]

也就是说

\[b_i=\sum_{j=i}^m\begin{Bmatrix}j\\i\end{Bmatrix}a_j \]

\(\mathcal{O}(m^2)\) 暴力递推第二类 \(\texttt{stirling}\) 数即可，总时间复杂度 \(\mathcal{O}(m^2)\)