数论一点点总结

数论基础

最大公约数Gcd

int gcd(int a, int b) //a大于b
{
	return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);
}

最小公倍数Lcm

int Lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;
}

费马小定理

费马小定理（Fermat Theory）是数论中的一个重要定理，其内容为：假设p是质数（素数），且
Gcd（a,p）=1,那么a^(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。该定理是1636年皮埃尔·德·费马发现的。 费马小定理在ACM数论题中应用还是较多的。

唯一分解定理

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。（素数的分解方法唯一）例题Pairs Forming LCM运用到唯一分解定理的好题。

拓展的欧几里得算法

扩展欧几里得算法（英语：Extended Euclidean algorithm）是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式ax + by = \gcd(a, b).
如果a是负数，可以把问题转化成|a|(-x)+by=gcd(|a|,b)，然后令 x'=(-x)。
通常谈到最大公约数时，我们都会提到一个非常基本的事实：给予二个整数a、b，必存在整数x、y使得ax + by = gcd(a,b)[1]。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。
例如：求一对正整数（x,y）,使得ax+by=gcd(a,b)。
代码如下：

void exgcd(int a,int b,int &d,int & x,int & y)
{
if(!b){
d=a;x=1;y=0;
}
else {
exgcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}

提示：设a #,b,c为任意整数，如果方程ax+by=c的一组整数解为（x0,y0）,则它的任意整数解可以写成（x0+kb',y0-ka'）,其中a'=a/gcd（a,b）,b'=b/gcd(a,b),k取任意整数。

Eratosthenes筛法

筛法的思路的忒简单：对于不超过n的每个非负整数p，删除2p，3p,4p....当处理完所以的数之后，剩下的就是素数了。vis[i]表示i以及被删除，代码如下复杂度O（nlogn）：

memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=2*i;j<=n;j+=i)
vis[j]=1;

改进一点：p可以限定素数，如果是素数，则不进行第二重循环；内层循环也不必从i*2开始——它在i=2是以及被筛掉，代码如下：

int m=sqrt(n+0.5);
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=2;i<=m;i++)
if(!vis[i])
for(int j=i*i;j<+n;j+=i)
vis[j]=1;

素数定理

π(x)~x/ln(x)。
其中 ln x 为 x 的自然对数。上式的意思是当 x 趋近无限，π(x)与x/ln x的比值趋近 1。但这不表示它们的数值随着 x 增大而接近。
对正实数x，定义π(x)为素数计数函数，亦即不大于x的素数个数。

逆元(inv)

1.什么是逆元

当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：
设c是b的逆元，则有bc≡1(mod m)；
则(a/b)%m = (a/b)1%m = (a/b)bc%m = ac(mod m);
即a/b的模等于ab的逆元的模；
逆元就是这样应用的

2.求逆元的方法

(1).费马小定理

在是素数的情况下，对任意整数都有。 如果无法被整除，则有。 可以在为素数的情况下求出一个数的逆元，，即为逆元。
题目中的数据范围1<=x<=10^9，p=1000000007，p是素数；
所以x肯定就无法被p整除啊，所以最后就得出x^(p-2)为x的逆元啦。
复杂度O(logn)

const int mod = 1000000009;
long long quickpow(long long a, long long b) {

    if (b < 0) return 0;

    long long ret = 1;

    a %= mod;

    while(b) {

        if (b & 1) ret = (ret * a) % mod;

        b >>= 1;

        a = (a * a) % mod;

    }

    return ret;
}
long long inv(long long a) {

    return quickpow(a, mod - 2);

}