2019山东省赛B - Flipping Game ZOJ - 4114 题解

题意：

　　初始有n个灯泡，灯泡状态是0和1,。现在有k轮操作，每次改变且仅改变m个的灯的状态，给定n盏灯的初始状态的最终状态，求有多少种解决改变灯的方案满足可以满足题目条件。

思路：

　　开始写的时候以为是组合计数和容斥原理什么鬼的，后来发现n，m，k的值都比较小，觉得应该是三维dp了，当然是瞎想，最后看题解还是一个二维dp可以解决的问题，只不过是三重循环。给队友lrr说了一下题解的状态定义，他也较快就写出来了。其实对于灯的状态，每次改变一次之后，现在的问题和之前的问题形式一样，只是k值和目标灯的状态不同的个数变了。

　　状态如下定义dp【i】【j】表示操作到第 i 轮，与目标的灯的状态不同的个数为 j 的操作方案数量。初始化dp[k][0]=1,dp[k][others]=0。倒退dp的状态转移，对于第k-1次，他的方案数是第k次全部的dp数组（即dp【k】）中转移而来的。对于dp[k][j]，与目标状态j的不同，n-j个相同，设改变j个中的x个，改变n-j个中的y个（这里要求x+y=m&& j-x+y=kk）(kk为dp【k】中与目标状态不同的个数为kk)。这样可以解出x和y，当x和y满足为整数并且x<=j&&y<=n-j 即为合理的转移方案。这样dp转移就不存在什么重复计数的问题，因为都是一种存在的状态变化而来的，计算出到达每种状态的方案数量，最后的答案就是dp[0][ans]，ans为初始与目标状态不同的灯泡数量。

　　接下来思考为什么要这样设计状态，可能是由于灯泡的特殊性，具体也不太清楚。

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAX_N=1e5+5;
const int M=998244353;

int n,k,m;
ll dp[105][105];
ll fac[105],inv_fac[105];

ll mod_pow(ll x,ll n){
    ll res=1;
    while(n>0){
        if(n&1)res=res*x%M;
        x=x*x%M;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

void init(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<105;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%M;
    }
    inv_fac[104]=mod_pow(fac[104],M-2);
    for(int i=103;i>=0;i--){
        inv_fac[i]=inv_fac[i+1]*(i+1)%M;
    }
}

ll C(int n,int m){
    return fac[n]*inv_fac[n-m]%M*inv_fac[m]%M;
}

void  fun(int ans){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<105;i++)dp[k][i]=0;
    dp[k][0]=1;//only the same is ok
    for(int i=k-1;i>=0;i--){
        for(int j=0;j<=n;j++){
                for(int kk=0;kk<=n;kk++){
                        int x=m-kk+j;
                        int y=kk+m-j;
                        if(x%2==0&&y%2==0&&x/2<=j&&x/2>=0&&y/2<=n-j&&y/2>=0)
                      dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i+1][kk]*C(j,x/2)%M*C(n-j,y/2)%M)%M;
                }

        }
    }
     printf("%lld\n",dp[0][ans]);
}

int main()
{
    init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
        string s1,s2;
        cin>>s1>>s2;
        int ans=0;
        for(int i=0;i<s1.length();i++){
            if(s1[i]!=s2[i])ans++;
        }
        fun(ans);
    }
    return 0;
}