树结点数

树结点数

0.概念

树（tree）指每个结点只有一个前件（也称父结点）、有多个后件（也称子结点）的非线性结构。没有父结点的结点称为根结点，每棵树只能有一个根结点；没有子结点的结点称为叶子结点。树结构中，一个结点拥有子结点的个数称为该结点的度；所有结点中最大的度称为这棵树的度。

1.结点数计算

假设树度为 x 的结点数为 n_x ，则一棵树可以表示为：

x	0	1	2	3	...
nₓ	n₀	n₁	n₂	n₃	...
根据树的形成过程，每增加一个度为 x 的结点，总结点数将增加 x 个。所以：

\[Sum = \sum n_i = 1 + \sum i \times n_i \]

其中 Sum 表示树的总节点数。

同理，每增加一个度为 x 的结点，叶子节点数将增加 x-1 个。所以：

\[Sum' = n_0 = 1 + \sum n_i(i-1) = 1 + \sum_{i=2} n_i(i-1) \]

其中 Sum' 表示树的叶子结点数。

2.二叉树特例

二叉树度小于3的树。即每个结点最多有两个子结点。有如下性质：

• 第k层上最多有 2^k-1 个结点。
• k层二叉树最多有 2^k-1 个结点。
• 叶子结点总比度为2的结点多一个。
  \[Sum' = 1 + \sum_{i=2} n_i(i-1) = 1 + n_2 \]

• 具有n个结点的二叉数深度最少为 [log₂(n+1)]+1 ，中括号表示取整。