过桥

过桥

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Problem Description

GDOI工作组遇到了一个运输货物的问题，现在有N辆车要顺序通过一个单项的小桥，由于小巧太窄了，不能有两辆车并排通过，所以在桥上不能超车，另外，由于小桥建造的时间已经很久，所以只能承受有限的重量，记为Max（吨），即任意时刻在桥上行驶的车辆的总重量不能超过Max（吨）。所以，车辆在过桥的时候必须要有管理员控制，将这N辆车按初始的顺序分组，每次让一个组过桥，并且只有一个组中所有的车辆全部过桥以后才让下一组车辆上桥，现在，每辆沉的重量和最大的速度是已知的，而每组车的过桥时间有该组中速度最慢的那辆车决定。
现在请你编一个程序，将这N辆车分组，使得全部车辆通过小桥的时间最短。

Input

第1行有3个数，分别为Max（吨），Len（桥的长度，单位：Km）。N（3个数之间用一个或多个空格分开。）接下来有N行。每行两个数，第i行当两个数分别表示第i辆车的重量（吨）和最大速度（Km/h）.
注意：所有的输入都为整数，并且任何一辆车的重量都不会超过Max。

Output

只有一行，输出全部车辆通过小桥的最短时间（minute），精确到小数点后一位。

Sample Input

100 5 10
40 25
50 20
50 20
70 10
12 50
9 70
49 30
38 25
27 50
19 70

Sample Output

75.0

解释：

题目首先说明这n辆车的顺序是不可以被改变的，能被改变的是，n辆车的不同分组。从而得到最短的时间。这是一个动态规划题目。当第1...k辆车以最小的时间通过时，k+1...n 也可以是最小时间通过。m..n辆车可以由两组车队来一次通过，其中[m, k]是最优的，[k+1, n]也是最优的。那么[m, n]也是最优的。

我看了别人的博客才知道状态转移方程，其实对于动态规划题，我认识状态的描述是比较重要的，知道了状态的含义就可以去思考状态转移方程，从而得到解，但是要怎么去想这个状态含义。我经常想不到。可能是做题少了吧。

对于这个题目，使用两个状态，第一个 t[i][j]表示，[i,j] 区间内，车辆通过所需要的最大时间。第二个f[i]表示，当第 i 辆车通过时所要的最小时间。那么结果就是f[n]。

对于第一个t, 那么t[i][i] 就是第 i 辆车自己单个通过的时间，t[i][j] = max(t[j][j], t[i][j-1]). t[j][j]是自己的当前时间，t[i][j-1]就是表示和[i, j-1]区间的车队一起通过。

if (pre[i] - pre[j-1]  <= 最大承重量) f[i] = min(f[i], f[j-1] +  t[j][i]) .其中 pre[i] 是表示前缀和。第 i 辆车通过时所要的最小时间是，当前车辆和 前 第 j 辆车一起走，是pre[j-1]而不是pre[j] 的原因是，per表示前缀和，第 i 辆车和 第 j 辆车一起走时，如果是pre[j] 那么就没有考虑第 j 辆车的重量了。f[j-1] + t[j][i] 表示也是一样的道理，如果是 f[j] 的话，将会重复计算 第 j 辆车的时间。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;

unsigned long long int pre_sum[N], v, m, len;

double t[N][N];
double f[N];

int main() {
  int n;
  while (cin >> m >> len >> n) {
    pre_sum[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      cin >> pre_sum[i] >> v;
      pre_sum[i] += pre_sum[i-1];
      t[i][i] = double(double(len) / double(v));
    } 

    for (int i = 1; i < n; i++) {
      for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
        t[i][j] = max(t[j][j], t[i][j-1]);
      } 
    }
    f[1] = t[1][1];

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
      f[i] = 1e9;
      for (int j = i; j >= 1; j--) {
        if (pre_sum[i] - pre_sum[j-1] > m) break;
        f[i] = min(f[i], f[j-1] + t[j][i]);
      }
    }
    printf("%.1lf\n", f[n]*60.00);
  }
  return 0;
}