爬楼梯 - 矩阵快速幂
1.题目描述
假设你正在爬楼梯。需要n阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬1或2个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定n是一个正整数。
示例 1：
输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2：
输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
2.题解
2.1 矩阵快速幂
public int climbStairs(int n) {
int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
int[][] res = pow(q, n);
return res[0][0];
}
public int[][] pow(int[][] a, int n) {
int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
while (n > 0) {
if ((n & 1) == 1) {
ret = multiply(ret, a);
}
n >>= 1;
a = multiply(a, a);
}
return ret;
}
public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
int[][] c = new int[2][2];
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
}
}
return c;
}
快速幂（Exponentiation by squaring，平方求幂）是快速计算一个数的大正整数幂的一般方法。
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矩阵快速幂指的是底数为矩阵的快速幂。那么矩阵是什么？矩阵是为了解决什么问题？
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由递推关系得：
当n = 5时，
最终结果取res[0][0]，于是，这里\(f(5)=8\)，但这是为什么呢？
注意到\(f(0)=1\)和\(f(1)=1\)，所以\(f(6)=8+5\)，\(f(5)=5+3\)。
这里的矩阵第一行第一列的元素8为什么刚好等于第二行元素的和(5+3)？
当n=1时，\(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{1}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
当n=2时，\(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)
当n=3时，\(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\)
当n=4时，\(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\)
当n=5时，\(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{5}=\begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\)
假设\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)，于是有：
\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a+b & a \\ c+d & c \end{bmatrix}\)。
\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a+b & a \\ c+d & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a+b & a+b \\ 2c+d & c+d \end{bmatrix}\)。
这里很好地解释了当n=5时，为什么矩阵第一行第一列的元素8为什么刚好等于第二行元素的和(5+3)。
因为矩阵第一行第一列的元素值为上一个矩阵的第一行元素的和，但为什么矩阵第二行元素刚好是上一个矩阵的第一行元素呢？
矩阵第二行第一列的元素值为上一个矩阵的第二行元素的和，而矩阵第二行第二列的元素为上一个矩阵的第二行第一列的元素。
结合第一个矩阵为\(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)，所以矩阵第二行元素刚好是上一个矩阵的第一行元素。
参考：
