分割等和子集 动态规划
1. 题目描述
给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
注意:
- 每个数组中的元素不会超过
100 - 数组的大小不会超过
200
示例 1:
输入: [1, 5, 11, 5]
输出: true
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
示例 2:
输入: [1, 2, 3, 5]
输出: false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.
2. 题解
public boolean canPartition(int[] nums) {
int n = nums.length;
if (n < 2) {
return false;
}
int sum = 0, maxNum = 0;
for (int num : nums) {
sum += num;
maxNum = Math.max(maxNum, num);
}
if (sum % 2 != 0) {
return false;
}
int target = sum / 2;
if (maxNum > target) {
return false;
}
boolean[][] dp = new boolean[n][target + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][0] = true;
}
dp[0][nums[0]] = true;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int num = nums[i];
for (int j = 1; j <= target; j++) {
if (j >= num) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j - num];
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
return dp[n - 1][target];
}
这里要将数组划分为两个子集，数组至少要有两个元素。
如果数组中所有元素的和sum是奇数，不可能划分出元素和相等的两个子集；如果sum是偶数，则令target=sum/2，需要判断是否可以从数组中选出一些数字，使得这些数字的和等于target。
如果数组中最大的元素maxNum大于target，则除了maxNum以外的所有元素之和一定小于target，因此也不可能划分出元素和相等的两个子集。
创建二维数组dp，包含n行target+1列，其中dp[i][j]表示从数组的[0,i]下标范围内选取若干个正整数（可以是0个），是否存在一种选取方案使得被选取的正整数的和等于j。
当i = 0时，选取nums[0]使得j等于1。
当i = 1时，有三种情况：
- 选取
nums[0]使得j等于1； - 选取
nums[1]使得j等于5； - 同时选取
nums[0]和nums[1]使得j等于6。
注意到当i = 1时，要使得j等于1，由于nums[1]大于1，所以不选取nums[1]。
因此，dp[1][1] = dp[0][1]，即不选取nums[1]的情况下，是否存在使得j等于1的选取方案。
当i = 1时，要使得j等于5，由于nums[1]小于等于5。因此，dp[1][5] = dp[0][5] | dp[0][0]，这里的dp[0][5]表示不选取nums[1]，是否存在使得j等于5的选取方案，dp[0][0]表示选取nums[1]，是否存在一种选取方案使得被选取的正整数的和等于0。
当i = 1时，要使得j等于6，由于nums[1]小于等于6。因此，dp[1][6] = dp[0][6] | dp[0][1]，这里的dp[0][1]表示选取nums[1]，再看看i = 0的选取方案，显然当i = 0时，选取nums[0]使得j等于1。
最后，dp[3][11]表示从数组的[0,3]下标范围内选取若干个正整数，是否存在一种选取方案使得被选取的正整数的和等于11。
另一种方法：
遍历数组nums，遍历的每个元素都选取。比如，遍历nums[0]时选取nums[0]，遍历nums[1]时选取nums[1]。
当遍历nums[0]时，要使得j等于1，dp[1] |= dp[0]。
当遍历nums[1]时，要使得j等于6，dp[6] |= dp[1]；要使得j等于5，dp[5] |= dp[0]。
注意到dp[6] |= dp[1]，它表示选取nums[1]，是否存在一种选取方案使得被选取的正整数的和等于1。
public boolean canPartition(int[] nums) {
int n = nums.length;
if (n < 2) {
return false;
}
int sum = 0, maxNum = 0;
for (int num : nums) {
sum += num;
maxNum = Math.max(maxNum, num);
}
if (sum % 2 != 0) {
return false;
}
int target = sum / 2;
if (maxNum > target) {
return false;
}
boolean[] dp = new boolean[target + 1];
dp[0] = true;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int num = nums[i];
for (int j = target; j >= num; --j) {
dp[j] |= dp[j - num];
}
}
return dp[target];
}
参考：
