Educational Codeforces Round 157 (Rated for Div. 2) D. XOR Construction
题意
给你 n−1n−1 个整数 a1,a2,…,an−1 。
你的任务是构造一个数组 b1,b2,…,bn ,使得:
- 从 0 到 n−1 的每个整数都在 b 中出现一次;
- 对于从 1 到 n−1 的每个 i , bi⊕bi+1=ai (其中 ⊕ 表示整数 bi⊕bi+1=ai 。(其中 ⊕ 表示位向 XOR 运算符)。
输入
第一行包含一个整数 n ( 2≤n≤2⋅105 )。
第二行包含 n−1 个整数 a1,a2,…,an−1 ( 0≤ai≤2n )。
输入的其他限制条件:从给定的序列 a 中总是可以构造出至少一个有效的数组 b 。
思路
一般来说,区间异或的题目往往和前缀有关,所以我们不妨将公式进行罗列
b1⊕b2=a1b2⊕b3=a2⋯bj⊕bj+1=aj
把左右两边都异或起来可以推出:b1⊕bj+1=j⨁i=1ai。
记前缀异或和 sumx=x⨁i=1ai。
那么 bj+1=b1⊕sumj,那么实际上是只要确定了 b1 就可以算出所有的 bj。
题目中要求要让 b 在 0∼n−1 之内,这是b数组和的最小状态
所以这实际上实在寻找一个 b1 使得异或出来的所有bi值和越小越好。
因为bi和ai和b1有关,在这里a数组我们无法改变,为了让bi减小,只能靠修改b1
让每一位最小化,自然最后整体就会最小化,这就是局部最优达成全局最优,贪心的思路。
所以我们对于每一位进行考虑,假设所有ai的第 i 位为 1 的个数有sum1个,第i位为 0 的个数有sum2个。
如果说sum2<sum1
那我们最好让b1异或上一个 2i,这样可以让第i位为0的bi的个数变成sum1,为1的个数变为sum2
从而达到让bi整体变小的结果。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+20;
int n,a[N],b[N];
inline void init()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n;
for(int i=1; i<n; i++)
{
cin>>a[i];
a[i]^=a[i-1];//前缀异或和
}
for(int i=0; i<30; i++)//枚举每一位
{
int sum1=0,sum2=0;
for(int j=1; j<n; j++)
if (a[j]>>i & 1)
sum1++;
else sum2++;
if (sum1>sum2)//这样可以减小整体该位为1的个数
b[1]+=(1<<i);
}
for(int i=2; i<=n; i++)
b[i]=a[i-1]^b[1];//根据上述公式
for(int i=1; i<=n; i++)
cout<<b[i]<<" ";
}
signed main()
{
init();
return 0;
}
本文作者:秦淮岸灯火阑珊
本文链接:https://www.cnblogs.com/gzh-red/p/17809170.html
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