P3539 [POI2012]ROZ-Fibonacci Representation
题目概要
题目描述
给一个数\(k\)，问最少可以用几个斐波那契数加加减减凑出来
例如
\[10=5+5 \\\\
19=21-2 \\\\
17=13+5-1 \\\\
1070=987+89-5-1 \\\\
\]
样例输入
1
1070
样例输出
4
数据范围
\[k \le 10^{17}
\]
多组数据,不超过\(10\)组.
解题报告
题意理解
给一个数\(k\)，问最少可以用几个斐波那契数加加减减凑出来.
算法解析
首先我们得知道,因为斐波那契数列,有如下这个特殊数字.
\[a_0=0,a_1=1,a_2=1,a_3=2 \\\\a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \quad n \ge 2
\]
那么一个数字,总能被几个斐波那契数组合而成.
证明不太会,大佬可以在下面留言,教教我.
我们接着理解,对于一个整数,它的斐波那契数表示如下.
\[x=a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm \dots \pm a_{cnt} \\\\其中a_i为斐波那契数
\]
而题目的要求,就是让我们找到这个最小的\(cnt\)
假如说,我们发现,在这个表达数列之中,有两个数\(a,b\)满足.
\[定义:Rank(a)表示为a在斐波那契数列中的位置 \\\\若Rank(a)=Rank(b)+1 \quad 或者 \quad Rank(b)=Rank(a)+1
\]
那么,我们可以使用,一个数\(c\),代替\(a,b\).
\[c=a+b
\]
或者说,本来表达数列是.
\[x=a+b \Rightarrow x=c \\\\x=p-a-b \Rightarrow x=p-c \\\\
\]
比如说.
\[x=14=1+13=1+5+8 \\\\13=15+8 \\\\1,5,8,13,都是斐波那契数
\]
这有什么用处?
这可以让我们推出贪心
对于一个数\(x\)，我们找到与\(x\)差值最小的斐波拉契数，将新的\(x\)赋为差值，每次进行这个操作，统计次数，直到\(x\)为\(0\)，输出次数。
这个的证明,其实在上面就已经体现了.
\[f[x]=min(f[p]-x,x-f[p-1]) \\\\p为大于等于x,中最小的数 \\\\p-1自然就是小于等于x,中最大的数 \\\\
\]
代码解析
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=110;
int f[N],x,n;
inline int check(int x)
{
int cnt=0,p=0;
while(x)
{
p=lower_bound(f+1,f+1+98,x)-f;//大于等于x中最小的那一个数
x=min(x-f[p-1],f[p]-x);//p-1为小于等于x中最大的那一个数
cnt++;
}
return cnt;
}
inline void init()
{
scanf("%lld",&n);
f[1]=1;
for(int i=2; i<=98; i++)//预处理斐波那契数
f[i]=f[i-1]+f[i-2];
while(n--)
{
scanf("%lld",&x);
printf("%lld\n",check(x));
}
}
signed main()
{
init();
return 0;
}
