严格次小生成树[BJWC2010]
题目描述
给定一张\(N\) 个点$ M $条边的无向图，求无向图的严格次小生成树。
设最小生成树的边权之和为\(sum\)，严格次小生成树就是指边权之和大于\(sum\)的生成树中最小的一个。
输入格式
第一行包含两个整数\(N\)和\(M\)。
接下来\(M\)行，每行包含三个整数\(x，y，z\)，表示点\(x\)和点\(y\)之前存在一条边，边的权值为\(z\)。
输出格式
包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)
数据范围
输入样例：
5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6
输出样例：
11
解题报告
题意理解
要你构造一棵\(n\)个节点的严格次小生成树.
算法解析
分析条件
题目中给出的关键点,就是严格和次小.
- 什么是严格
就是题目强制要求严格单调性,不可以有\(=\)号的出现.
- 什么是次小
我们应该都知道,最小生成树,它要求边集合的边总和最小,那么次小生成树,要求边集合的边总和只比最小生成树边集合权值大.
总结性质
有至少一个（严格）次小生成树，和最小生成树之间只有一条边的差异。和真理只有一点差异,那就是出题人毒瘤
我们来粗略证明一下.(强行伪证)
我们知道最小生成树,是由\(n-1\)条构成的.
那么其他的\(M-N+1\)就是多余边.
假如说我们把一条多余边\((x,y,z)\),加入到了最小生成树中,那么一定会在\((x,y)\)之间的路径上形成一个环.
那么这个环上面,最大的边称之为
次大的边,称之为
而且为了保证严格这个单调性质,我们必须设
接下来,我们就需要好好分析一下这条多余边了.
我们知道多余边,替换任何一条树上的一条边,都会使得最小生成树,不再最小
为什么?
因为最小生成树上的每一条边,一定是满足贪心性质下的最小的边.为什么啊?相信你的直觉啊
这个证明,我们使用的克鲁斯卡尔算法,已经告诉我们为什么.真相只有一个,我懒了
总而言之,言而总之,我们现在知道了这条多余边的加入.,一定会产生非最小生成树.
我们不妨令
假如说我们将多余边,替换掉最大权值边.
这一轮替换,我们可以认为这棵生成树有潜力成为次小生成树.
然后,我们发现,换一换次大边,也是可以的.
我们将多余边,强行替换掉次大权值边.
现在所有的候选生成树都出来了,但是我们面临一个非常严重的问题.
我们如何快速计算,一条路径上的最大边,和次大边.
动态规划
我们可以当前需要知道的状态,无非就是两个.
- 一条路径上的最大边
- 一条路径上的严格次大边
所以说,我们不妨就按照倍增数组的思路,去制造两个新数组.
- 最大边数组
- 严格次大边数组
这是我们非常熟悉的Lca倍增数组.
然后咱们现在其实,手上掌握的最有力的性质,就是最值性质.
我们假设一条路径是由三段构造而成.
是三段,不是就三个点.
我们发现
这就是区间最值性质.
不过严格次大边,就比较麻烦了,不慌,咱们慢慢画图来.
为了下面简述方面,我们设置一下变量.
巧计一下,Val字母多,所以是最大边权,V字母少,所以是次大边权.
我们分类讨论一下,三种情况.
①第一段最大值=第二段最大值
我们发现两段居然最大值一样.
次大边权就只能
②第一段最大值<第二段最大值.
那么此时,次大边权是可以取第一段最大值.
因为此时总段的最大值,一定是第二段最大值.
综上所述,我们总结下来就是.
③第一段最大值>第二段最大值.
那么此时,次大边权是可以取第二段最大值.
因为此时总段的最大值,一定是第一段最大值.
同样,总结一下.
然后我们将\(A,B,C\)具体化一下.
A其实就是起始节点.
C其实就是A跳跃了\(2^{i-1}\)格节点.
B其实就是A跳跃了\(2^{i}\)格节点.
广告时间:发现还是有点模糊,咱们的直播课会讲解的非常清晰,画图肯定少不了.
代码解析
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 1e16
const int N=1e5+200;
const int M=6*1e5+300;
int head[M],edge[M],Next[M],ver[M],tot,fa[M],n,m,father[N][32],deep[N];
long long dp[2][N][32],val1,val2,ans_max,ans;
struct node
{
int x,y,z,vis;
} s[M];
int cmp(node a,node b)
{
return a.z<b.z;
}
struct Edge
{
void init2()
{
memset(head,0,sizeof(head));
tot=0;
}
void add_edge(int a,int b,int c)
{
edge[++tot]=b;
ver[tot]=c;
Next[tot]=head[a];
head[a]=tot;
}
int find(int x)
{
return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void Kruskal()
{
sort(s+1,s+1+m,cmp);
for(int i=1; i<=m; i++)
{
int a=find(s[i].x),b=find(s[i].y);
if (a==b)
continue;
s[i].vis=1;
fa[a]=b;
ans+=s[i].z;
add_edge(s[i].x,s[i].y,s[i].z);
add_edge(s[i].y,s[i].x,s[i].z);
}
}
void bfs(int root)
{
deep[root]=0;
queue<int> q;
q.push(root);
while(q.size())
{
int x=q.front(),len=(int)log2(deep[x]+1);
q.pop();
for(int i=head[x]; i; i=Next[i])
{
int y=edge[i];
if(y==father[x][0])
continue;
deep[y]=deep[x]+1;
father[y][0]=x,dp[0][y][0]=ver[i],dp[1][y][0]=-INF;
q.push(y);
for(int t=1; t<=len; t++)
{
father[y][t]=father[father[y][t-1]][t-1];
if(dp[0][y][t-1]!=dp[0][father[y][t-1]][t-1])
{
dp[0][y][t]=max(dp[0][y][t-1],dp[0][father[y][t-1]][t-1]);
dp[1][y][t]=min(dp[0][y][t-1],dp[0][father[y][t-1]][t-1]);
}
else
{
dp[0][y][t]=dp[0][y][t-1];
dp[1][y][t]=max(dp[1][y][t-1],dp[1][father[y][t-1]][t-1]);
}
}
}
}
}
inline void update2(int x)
{
if(x>val1)
val2=val1,val1=x;
else if(x>val2 && x!=val1)
val2=x;
}
inline void update(int x, int t)
{
update2(dp[0][x][t]);
update2(dp[1][x][t]);
}
inline void Lca(int x, int y)
{
val1=val2=-INF;
if(deep[x]<deep[y])
swap(x,y);
while(deep[x]>deep[y])
{
int t=(int)log2(deep[x]-deep[y]);
update(x,t),x=father[x][t];
}
if(x==y)
return;
for(int t=(int)log2(deep[x]); t>=0; t--)
{
if(father[x][t]!=father[y][t])
{
update(x,t),update(y,t);
x=father[x][t];
y=father[y][t];
}
}
update(x,0),update(y,0);
}
} g1;
int main()
{
// freopen("stdin.in","r",stdin);
// freopen("stdout.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
g1.init2();
for(int i=1; i<=m; i++)
{
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
s[i].x=a,s[i].y=b,s[i].z=c;
fa[i]=i;
}
g1.Kruskal();
g1.bfs(1);
ans_max=INF;
for(int i=1; i<=m; i++)
{
if(!s[i].vis)
{
g1.Lca(s[i].x,s[i].y);
if(val1!=s[i].z)
ans_max=min(ans_max,ans-val1+s[i].z);
else
ans_max=min(ans_max,ans-val2+s[i].z);
}
}
printf("%lld\n",ans_max);
return 0;
}
