CF997D Cycles in product

题意

给你大小为 \(n_1, n_2\)​的两棵树 \(T_1, T_2\)​，构造一张新图，该图中每一个点的编号为 \((u,v)\)。如果在 \(T_1\) ​中， \(u_1\) ​和\(u_2\) ​之间有边，那么在该图上，对于任意 \(1\le v\le n_2\)，\((u_1, v)\) 和 \((u_2, v)\) 之间有边。同样，如果在 \(T_2\) ​中，\(v_1\) ​和\(v_2\)​之间有边，那么在图上，对于任意 \(1\le u\le n_1\)，\((u, v_1)\) 和 \((u, v_2)\) 之间有边.
求这个图上长度为 \(K\) 的环有多少个，环可以不为简单环，起始点或方向不同的环视为不同的环.

\(n_1, n_2\le 4000, K\le 75\)，答案对 \(998244353\) 取模.

题解

\(T_1\) 上一个长度为 \(K_1\) 的环和 \(T_2\) 上一个长度为 \(K_2\) 的环以不同方式组合对应图上 \(\begin{pmatrix}K_1+K_2\\k_1\end{pmatrix}\) 个环
即答案为 \(\sum\limits_{0\le i\le K}F1_i\times F2_{K-i}\times\begin{pmatrix}K\\i\end{pmatrix}\)，其中 \(F1_i\) 表示 \(T_1\) 上长度为 \(i\) 的环的个数，\(F2_i\) 表示 \(T_2\) 上长度为 \(i\) 的环的个数

我们把每个点作为起始点分别计算，考虑到树上所有的环长度均为偶数，令 \(f_{u, k}\) 表示以 \(u\) 为起始点，长度为 \(2\times k\) 的环的个数，有 \(F_{2\times k}=\sum\limits_u f_{u, k}\)
由于从父亲节点往儿子节点转移十分困难，不妨对于每个点只考虑在其子树中的环然后换根DP
考虑转移

\[f_{u,k}=\sum_{0\le t<k}f_{u,t}\sum_{v\in \text{son}_u}f_{v,k-t-1} \]

令 \(h_{u,k}=\sum_{v\in \text{son}_u}f_{v,k-t-1}\)，有

\[f_{u,k}=\sum_{0\le t<k}f_{u,t}\times h_{u, k-t-1} \]

换根DP维护 \(h\)，再通过 \(h\) 计算 \(f\)
\(\Theta((n_1+n_2)\times K^2)\) 足以通过此题

代码 codeforces submission 143516835

优化

复杂度瓶颈在 \(f\) 的计算，考虑优化这一过程

令 \(h'_{u,k}=h_{u,k-1}\)，有

\[f_{u,k}=\sum_{0\le t<k}f_{u,t}\times h'_{u,k-t} \]

令\(G_u(x)=\sum_{1\le i\le k}h'_{u,i}\times x^i\)，有

\[\begin{align*}f_{u,k}&=[x^k]\sum_{1\le i\le k}G_u(x)^i\\&=[x^k]\frac{G_u(x)^{k+1}-G_u(x)}{G_u(x)-1}\end{align*} \]

多项式快速幂和求逆可以做到 \(\Theta((n_1+n_2)K\log K)\) 的复杂度