CF587F Duff is Mad

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题意

给定 $n$ 个字符串 $S_{1...n}$.
定义 $\text{occur}(t, s)$ 为 字符串 $t$ 在字符串 $s$ 中的出现次数. 有 $q$ 次询问，每次给出 $l$，$r$ 和 $k$，输出 $\sum\limits_{l\le i\le r}\text{occur}(s_i, s_k)$.

$n,k,\sum |s_i|\le 10^5$

题解

我们对所有串建立fail树

令 $p_{i,j}$ 表示串 $s_i$ 的前 $j$ 个字符在AC自动机上对应点的编号，$end_{i}$ 表示串 $s_i$ 在AC自动机上对应点的编号
有

$$\sum_{l\le i\le r}\text{occur}(s_i, s_k)=\sum_{l\le i\le r}\sum_{1\le j\le \text{len}_k}\text{isanc}(end_{i}, p_{k, j})$$

其中 $\text{isanc}(x, y)$ 表示在fail树上 $x$ 是否为 $y$ 的祖先

看到 $\sum |s_i|\le 10^5$ 这条限制，容易想到对于 $|s_k|$ 根号分治

令 $M=\sum |s_i|$

• $|s_k|<=T$
  容易得到一种做法，$\forall l\le i\le r$，对所有以 $end_i$ 为根的子树的所有点加1，然后查询所有 $p_{k,i}$ 点上的值之和
  把每个询问差分为成 $[1, l-1]$ 和 $[1, r]$ 两个区间，然后离线下来按右端点排序，维护区间修改单点查询
  树状数组可以做到 $\mathcal{O}(qT\log M+n\log M)$，当然更快的做法是分块的 $\mathcal{O}(qT+n\sqrt{M})$
• $|s_k|>T$
  满足这个条件的 $k$ 数量是 $\mathcal{O}(\frac{M}{T})$ 级别的，因此我们考虑对所有的 $k$ 预处理
  考虑另一种做法，把所有 $p_{k,i}$ 标上1，然后查询 $\forall l\le i\le r$，$end_i$ 子树和之和
  预处理时我们对 $end_i$ 的子树和做前缀和，询问的差分即可
  $\mathcal{O}(q+\frac{M}{T}\times n)$

选择一个合适的 $T$，我们视 $n$，$M$ 和 $q$ 为同阶，$T$ 取 $\sqrt{M}$ 即可
复杂度可以简单地认为是 $\mathcal{O}(n\sqrt{M})$

代码 codeforces submission 144319232