CF587F Duff is Mad

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题意

给定 \(n\) 个字符串 \(S_{1...n}\).
定义 \(\text{occur}(t, s)\) 为 字符串 \(t\) 在字符串 \(s\) 中的出现次数. 有 \(q\) 次询问，每次给出 \(l\)，\(r\) 和 \(k\)，输出 \(\sum\limits_{l\le i\le r}\text{occur}(s_i, s_k)\).

\(n,k,\sum |s_i|\le 10^5\)

题解

我们对所有串建立fail树

令 \(p_{i,j}\) 表示串 \(s_i\) 的前 \(j\) 个字符在AC自动机上对应点的编号，\(end_{i}\) 表示串 \(s_i\) 在AC自动机上对应点的编号
有

\[\sum_{l\le i\le r}\text{occur}(s_i, s_k)=\sum_{l\le i\le r}\sum_{1\le j\le \text{len}_k}\text{isanc}(end_{i}, p_{k, j}) \]

其中 \(\text{isanc}(x, y)\) 表示在fail树上 \(x\) 是否为 \(y\) 的祖先

看到 \(\sum |s_i|\le 10^5\) 这条限制，容易想到对于 \(|s_k|\) 根号分治

令 \(M=\sum |s_i|\)

• \(|s_k|<=T\)
  容易得到一种做法，\(\forall l\le i\le r\)，对所有以 \(end_i\) 为根的子树的所有点加1，然后查询所有 \(p_{k,i}\) 点上的值之和
  把每个询问差分为成 \([1, l-1]\) 和 \([1, r]\) 两个区间，然后离线下来按右端点排序，维护区间修改单点查询
  树状数组可以做到 \(\mathcal{O}(qT\log M+n\log M)\)，当然更快的做法是分块的 \(\mathcal{O}(qT+n\sqrt{M})\)
• \(|s_k|>T\)
  满足这个条件的 \(k\) 数量是 \(\mathcal{O}(\frac{M}{T})\) 级别的，因此我们考虑对所有的 \(k\) 预处理
  考虑另一种做法，把所有 \(p_{k,i}\) 标上1，然后查询 \(\forall l\le i\le r\)，\(end_i\) 子树和之和
  预处理时我们对 \(end_i\) 的子树和做前缀和，询问的差分即可
  \(\mathcal{O}(q+\frac{M}{T}\times n)\)

选择一个合适的 \(T\)，我们视 \(n\)，\(M\) 和 \(q\) 为同阶，\(T\) 取 \(\sqrt{M}\) 即可
复杂度可以简单地认为是 \(\mathcal{O}(n\sqrt{M})\)

代码 codeforces submission 144319232