CF1039D You Are Given a Tree

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题意

给定一棵有 \(n\) 个节点的树. 对于满足 \(1\le k\le n\) 的每一个 \(k\)，把树分成若干条包含 \(k\) 个顶点的链，其中每个点最多属于一条链，问最多能分得几条链.

\(n\le 10^5\)

题解

考虑 \(k\) 固定时怎么做

我们自下而上贪心，对于一个点，如果在它的子树内有一条经过该点且不经过以被使用点的链，那么我们就将这条链计入答案并将该点标记为使用过

简单证明一下：
对于点 \(u\) 满足在其子树内有一条经过该点且不经过以被使用点的链，如果这条链不计入答案，而是选取一条经过 \(u\) 的但不完全在 \(u\) 子树中的链，这样划分的链数不会增加，反而会占用这条链在点 \(u\) 子树外的点
因此，按照上述方法贪心是最优的

令 \(f_i\) 表示 \(k=i\) 时的答案，显然有 \(f_i\le\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)

类似除法分块，\(f_i\) 一共只有 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 种取值
证明如下：

• \(i\le \sqrt{n}\)
  显然只有不超过 \(\sqrt{n}\) 种取值
• \(i>\sqrt{n}\)
  \(f_i<\lfloor\frac{n}{sqrt{n}}\rfloor=\sqrt{n}\)
  显然也只有不超过 \(\sqrt{n}\) 种取值

因此我们对于每一种取值二分右端点，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n}\log n)\)，不足以通过此题

观察到前几种取值比较密集，对每种取值二分是很浪费的，考虑对前 \(T\) 项直接暴力，只对后面的 \(\mathcal{O}(\frac{n}{T})\) 种取值二分

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(nT+\frac{n}{T}\log n)\)，\(T\) 取 \(\sqrt{n\log n}\) 时有最优复杂度 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n\log n})\)

细节

实现的时候注意常数，特别是不要每次贪心都dfs一遍，可以直接在dfs序上贪心

代码 codeforces submission 144337474