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题意

求

\[T = \sum_{1\le i\le n}\sum_{1\le j\le\lfloor \frac{n}{i} \rfloor}\sum_{1\le k\le j}[\gcd(j,k)=1] \]

多组数据

\(n\le 10^{10^6}\)

题解

\[T = \sum_{1\le i\le n}\sum_{1\le j\le\lfloor \frac{n}{i} \rfloor}\varphi(j) \]

令

\[\text{S}(n) = \sum_{1\le i\le n}\varphi(i) \]

则有

\[\begin{align*} T &= \sum_{1\le i\le n}\text{S}(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor) \\ &= \text{S}(n) + \sum_{2\le i\le n}\text{S}(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor) \\ \end{align*}\]

根据杜教筛，由 \(\varphi*\text{I}=\text{Id}\)，有

\[\text{I}(1)\times \text{S}(n)=\sum_{1\le i\le n}\text{Id}(i)-\sum_{2\le i\le n}\text{S}(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\times \text{I}(i) \]

即

\[\text{S}(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{2\le i\le n}\text{S}(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) \]

带回原式得

\[\begin{align*} T=&\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{2\le i\le n}\text{S}(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) + \sum_{2\le i\le n}\text{S}(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)\\ =&\frac{n(n+1)}{2} \end{align*} \]