【bzoj3529】数表

Description

给定n,m,a（n,m<=10⁷,a<=10⁹）,求$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}f(gcd(i,j))[f(gcd(i,j))<=a]$（多组数据，q<=200000），其中，f(n)表示n的约数和。

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Solution

我们忽略$f(gcd(i,j))<=a$，可得

$ans=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}f(gcd(i,j))$

$=\sum\limits_{d=1}^{n}f(d)\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}[gcd(i,j)=1]$

$=\sum\limits_{d=1}^{n}f(d)\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}\sum\limits_{p|i,p|j}μ(p)$

$=\sum\limits_{d=1}^{n}f(d)\sum\limits_{p=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}μ(p)\left\lfloor\frac{n}{pd}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{pd}\right\rfloor$

记$t=pd$，则

$ans=\sum\limits_{t=1}^{n}\left\lfloor\frac{n}{t}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{t}\right\rfloor\sum\limits_{d|t}f(d)μ(\frac{t}{d})$

现在看$f(gcd(i,j))<=a$这一限制条件，我们用线性筛预处理出$\sum\limits_{d|t}f(d)μ(\frac{t}{d})$的前缀和后，离线处理询问，将询问按a的大小从小往大排，每次处理询问将符合条件的f值加入树状数组，然后按照$\left\lfloor\frac{n}{t}\right\rfloor$的值分块处理就可以啦，时间复杂度$O（q\sqrt{n}）$。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100000;
const int Q=20000;
struct node{
    int val,id;
}a[N+10]={0};
struct ques{
    int n,m,a,id;
}f[Q+10]={0};
int q,p[N+10]={0},miu[N+10]={0},t[N+10]={0},s[N+10]={0};
int ans[Q+10]={0};
bool check[N+10]={false};
bool cmp1(node a,node b){
    return a.val<b.val;
}
bool cmp2(ques a,ques b){
    return a.a<b.a;
}
void get_miu(){
    miu[1]=a[1].val=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!check[i]){
            miu[p[++p[0]]=i]=-1;
            a[i].val=t[i]=i+1;
        }
        for(int j=1;i*p[j]<=N&&j<=p[0];j++){
            check[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]){
                miu[i*p[j]]=-miu[i];
                t[i*p[j]]=p[j]+1;
                a[i*p[j]].val=a[i].val*t[i*p[j]];
            }
            else{
                t[i*p[j]]=t[i]*p[j]+1;
                a[i*p[j]].val=a[i].val/t[i]*t[i*p[j]];
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
        a[i].id=i;
    sort(a+1,a+N+1,cmp1);
    return;
}
void update(int x,int k){
    for(;x<=N;x+=x&-x)
        s[x]+=k;
    return;
}
int query(int x){
    int ret=0;
    for(;x;x-=x&-x)
        ret+=s[x];
    return ret;
}
int solve(int n,int m){
    int ret=0;
    if(n>m)
        swap(n,m);
    for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
        ret+=(query(j=min(n/(n/i),m/(m/i)))-query(i-1))*(n/i)*(m/i);
    return ret&0x7fffffff;
}
int main(){
    get_miu();
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        scanf("%d%d%d",&f[i].n,&f[i].m,&f[i].a);
        f[i].id=i;
    }
    sort(f+1,f+q+1,cmp2);
    a[N+1].val=0x3f3f3f3f;
    for(int i=1,j=1;i<=q;i++){
        for(;a[j].val<=f[i].a;j++)
            for(int k=a[j].id;k<=N;k+=a[j].id)
                update(k,a[j].val*miu[k/a[j].id]);
        ans[f[i].id]=solve(f[i].n,f[i].m);
    }
    for(int i=1;i<=q;i++)
        printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}