斯特林数

斯特林数（Stirling number）

前置概念

组合数：$({{n}\atop{k}})$

上升幂：$x^{\overline{n}}=x(x+1)…(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}$

下降幂：$x^{\underline{n}}=x(x-1)…(x-n+1)=\frac{x!}{(x-n)!}=\frac{x!}{n!(x-n)!}n!=({{n}\atop{k}})n!$

自然数幂求和：$S_n (k)=\sum\limits_{i=0}^{n}i^k$

第一类斯特林数$[{{n}\atop{k}}]$

定义

将n个元素分成k个轮换的方案数即为$[{{n}\atop{k}}]$。（简单来说就是把n个元素围成k个圈）

递推式：$[{{n}\atop{k}}]=(n-1)[{{n-1}\atop{k}}]+[{{n-1}\atop{k-1}}]$

解释↑：新元素要么加入之前的轮换中，要么自成轮换。

性质

$x^{\overline{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}[{{n}\atop{k}}]x^k$

证明↑：

$x^{\overline{n}}=(x+n-1)x^{\overline{n-1}}$

$=(x+n-1)\sum\limits_{k=0}^{n-1}[{{n-1}\atop{k}}]x^k$

$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(x+n-1)[{{n-1}\atop{k}}]x^k$

$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(n-1)[{{n-1}\atop{k}}]x^k+[{{n-1}\atop{k}}]x^{k+1}$

$=(n-1)[{{n-1}\atop{0}}]x^0+[{{n-1}\atop{n-1}}]x^n+\sum\limits_{k=1}^{n-1}((n-1)[{{n-1}\atop{k}}]+[{{n-1}\atop{k-1}}])x^k$

$=[{{n}\atop{0}}]x^0+[{{n}\atop{n}}]x^n+\sum\limits_{k=1}^{n-1}[{{n}\atop{k}}]x^k$（$(n-1)[{{n-1}\atop{0}}]=[{{n}\atop{0}}]=1,[{{n-1}\atop{n-1}}]=[{{n}\atop{n}}]=1$）

$=\sum\limits_{k=0}^{n}[{{n}\atop{k}}]x^k$

证毕。

由$x^{\underline{n}}=(-1)^n(-x)^{\overline{n}}$得$x^{\underline{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}[{{n}\atop{k}}]x^k$

带符号第一类斯特林数$S(n,k)=(-1)^{n+k}[{{n}\atop{k}}]$

求值

由$x^{\overline{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}[{{n}\atop{k}}]x^k$可知斯特林数为$x^{\overline{n}}$的各项系数。

我们可以直接分治FFT，时间复杂度$O(nlog{{2}\atop{2}}n)$。

然而有$O(nlog{{}\atop{2}}n)$的做法。

假设我们已经求出$x^{\overline{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}a{{}\atop{k}}x^k$，现在要求$x^{\overline{2n}}=x^{\overline{n}}(x+n)^{\overline{n}}$。

$(x+n)^{\overline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}[{{n}\atop{i}}](x+n)^i$

$=\sum\limits_{i=0}^{n}a{{}\atop{i}}\sum\limits_{j=0}^{i}({{i}\atop{j}})x^{j}n^{i-j}$

代码还没打呢，打完了就贴上来qwq~

题目（还没做TAT~）

第二类斯特林数$\{{{n}\atop{k}}\}$

代码

调了一整天，打完之后变成一只废人了TAT~

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int N=100000;
int n,k,len,rev[(N<<2)+10]={0};
ll fac[N+10]={1},inv[N+10]={1};
ll a[(N<<2)+10],b[(N<<2)+10];
ll power(ll x,ll k){
    ll ret=1,s=x;
    for(ll i=1LL;i<=k;i<<=1){
        if(k&i)
            ret=ret*s%mod;
        s=s*s%mod;
    }
    return ret;
}
void ntt(ll f[],int p){
    for(int i=1;i<len;i++)
        rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?(len>>1):0);
    for(int i=1;i<len;i++)
        if(i<rev[i])
            swap(f[i],f[rev[i]]);
    for(int i=2;i<=len;i<<=1){
        ll f1=power(3,(mod-1)/i);
        for(int j=0;j<len;j+=i){
            ll f2=1;
            for(int k=j;k<j+(i>>1);k++){
                ll f3=f[k],f4=f2*f[k+(i>>1)]%mod;
                f[k]=(f3+f4)%mod;
                f[k+(i>>1)]=(f3-f4+mod)%mod;
                f2=f2*f1%mod;
            }
        }
    }
    if(!~p){
        ll inv=power(len,mod-2);
        for(int i=0;i<len;i++)
            f[i]=f[i]*inv%mod;
        reverse(f+1,f+len);
    }
    return;
}
int main(){
    for(int i=1;i<=N;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[N]=power(fac[N],mod-2);
    for(int i=N-1;i;i--)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=0;i<=k;i++){
        a[i]=inv[i]*(i&1?-1:1);
        b[i]=power(i,n)*inv[i]%mod;
    }
    len=1;
    while(len<((k+1)<<1))
        len<<=1;
    for(int i=k+1;i<len;i++)
        a[i]=b[i]=0;
    ntt(a,1);ntt(b,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        a[i]=a[i]*b[i]%mod;
    ntt(a,-1);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        printf("%lld ",a[i]);
    puts("");
    return 0;
}