神秘题目

Description

在一个平面直角坐标系中，你站在原点，即（0,0）上。你每次可以选择往上下左右中的一个方向走1个单位的距离（不能不走）。问你用k步走到（a，b）的方案数。（只需要k步后在终点即可，不关注途中是否经过终点）

Input

本题有多组数据。

第一行一个整数t，表示数据组数。

接下来t行，第i+1行包含三个整数a_i，b_i，k_i，表示第i次询问终点为（a_i，b_i），步数为k_i。

Output

共t行，每行一个整数，表示答案。

Sample Input

3

1 1 1

0 1 2

4 4 10

Sample Output

0

0

2520

HINT

对于100%的数据，1＜t≤10⁶，0≤a_i，b_i≤10⁶，0≤k_i≤3*10⁶。

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Solution

（本题解仅适用于我这种只会暴力推导的蒟蒻选手，请开题就旋转45°秒题的大佬们出门左转慢走不送。）

显然，当a+b＜k或k-a-b为奇数时，没有符合要求的方案。

从（0,0）到（a，b）至少需要a+b步。

对于剩下的k-a-b步，需满足向左（上）走和向右（下）走的步数相等。

令n=（k-a-b）/2，我们可以得到

$ans=\sum\limits_{i=0}^{n}({{k}\atop{a+2i}})({{a+2i}\atop{i}})({{b+2n-2i}\atop{n-i}})$

$=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{k!}{i!(a+i)!(n-i)!(b+n-i)!}$(注：k-a-2i=a+b+2n-a-2i=b+2n-2i)

接下来是最重要的一步，我们可以发现i+(n-i)=n,(a+i)+(b+n-i)=k-n,n+(k-n)=k，于是我们可以考虑搞一点事情↓

$k!=\frac{k!*n!*(n-k)!}{n!*(n-k)!}$

代入原式可得

$ans=({{k}\atop{n}})\sum\limits_{i=0}^{n}({{n}\atop{i}})({{k-n}\atop{a+i}})$

似乎看不出什么，我们将$({{k-n}\atop{a+i}})$变为$({{k-n}\atop{k-n-a-i}})$。

理性分析一下我们可以发现，$\sum\limits_{i=0}^{n}({{n}\atop{i}})({{k-n}\atop{k-n-a-i}})$表示的是从k个球中取k-n-a个球的方案数，则$ans=({{k}\atop{n}})({{k}\atop{k-n-a}})$，单次询问的时间复杂度O(1)，总时间复杂度为O(t)。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
const int len=25000000;
char s[len];int pos=0;
inline int rd(){
    char c=s[pos++];int flag=1,x=0;
    for(;c<'0'||c>'9';c=s[pos++])if(c=='-')flag=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=s[pos++])x=x*10+c-'0';
    return x*flag;
}
int fac[3000010]={1},inv[3000010]={1};
int power(int x,int k){
    int res=1,s=x;
    for(;k;k>>=1){
        if(k&1)
            res=(ll)res*s%mod;
        s=(ll)s*s%mod;
    }
    return res;
}
void prepare(){
    for(int i=1;i<=3000000;i++)
        fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
    inv[3000000]=power(fac[3000000],mod-2);
    for(int i=2999999;i;i--)
        inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%mod;
    return;
}
int C(int n,int m){
    return (ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int solve(int a,int b,int k){
    int n=(k-a-b)>>1;
    return (ll)C(k,n)*C(k,k-n-a)%mod;
}
int main(){
    freopen("data_A.in","r",stdin);
    freopen("ans_A.out","w",stdout);
    fread(s,1,len,stdin);
    prepare();
    for(int t=rd();t--;){
        int a=rd(),b=rd(),k=rd();
        if(a+b>k||((k-a-b)&1)){
            puts("0");
            continue;
        }
        printf("%d\n",solve(a,b,k));
    }
    return 0;
}