[转载]动态规划思想：石子合并问题

问题描述：
在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。
规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

开始以为通过贪心算法可能很快解决问题，可是是行不通的。

首先我们可以把这么堆石子看成一列

我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100

 

•按照贪心法，合并的过程如下：
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 =11
　 第二次合并 7 11 7 100=18
　 第三次合并 18 7 100 =25
第四次合并 25 100 =125

总得分＝11＋18＋25+125＝179

•另一种合并方案
每次合并得分
　 　第一次合并 7 6 5 7 100 ->13
第二次合并 13 5 7 100->12
第三次合并 13 12 100 ->25
第四次合并 25 100 ->125

总得分＝13＋12＋25+125＝175

显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。

如果N－1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解，那么经这样的N－1次合并后的得分总和必然是最优的。
　　 因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。

在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。

　　　我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。

　　　当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;

　　 当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);

　　 当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));

　　　当合并的石子堆为4堆时......

代码实现如下：

 

#include <iostream>  
#include <cmath>  
#include <algorithm>  
using namespace std;

const int MAX = 10000;
int sum[100];
int mins[100][100], maxs[100][100];

int n, stone[100];

int sums(int i, int j) {
    if (i + j >= n) {
        return sums(i, n - i - 1) + sums(0, (i + j) % n);
    }
    else {
        return sum[i + j] - (i > 0 ? sum[i - 1] : 0);
    }
}

void getBest(int& minnum, int& maxnum) 
{ 
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        mins[i][0] = maxs[i][0] = 0;
    } 
    for (int j = 1; j < n; ++j) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            mins[i][j] = MAX;
            maxs[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < j; ++k) {
                mins[i][j] = min(mins[i][k] + mins[(i + k + 1) % n][j - k - 1] + sums(i, j), mins[i][j]);
                maxs[i][j] = max(maxs[i][k] + maxs[(i + k + 1) % n][j - k - 1] + sums(i, j), maxs[i][j]);

            }
        }
    }
    minnum = mins[0][n - 1];
    maxnum = maxs[0][n - 1];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        minnum = min(minnum, mins[i][n - 1]);
        maxnum = max(maxnum, maxs[i][n - 1]);
    }
}
int main()
{
    cout << "输入石子堆数:";
    cin >> n;
    cout << "每一堆的石子数:";
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> stone[i];

    sum[0] = stone[0];
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        sum[i] = sum[i - 1] + stone[i];
    }
    int minnum, maxnum;
    getBest(minnum, maxnum);
    cout << "最小得分:"<<minnum << "\n最大得分:" << maxnum << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

这里感谢原作者！