哈夫曼

哈夫曼

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一、最优树的定义：

　　结点的路径长度定义为：从根结点到该结点的路径上分支的数目。
　　树的路径长度定义为：树中每个结点的路径长度之和。
　　树的带权路径长度定义为：树中所有叶子结点的带权路径长度之和
　　WPL(T) = (对所有叶子结点)
　　在所有含有n个叶子结点、并带有相同权值的m叉树中，必存在一棵其带权路径长度取最小值的树，称为最优树。

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二、如何构造最优树：

哈夫曼算法，以二叉树为例：
（1）根据给定的n个权值{W1,W2,W3...Wn}，构造n棵二叉树的集合F={T1,T2...Tn},
其中每棵二叉树中均只含一个带权值为Wi的根结点，其左、右树为空树。
（2）在F中选取其根结点的权值为最小的两棵二叉树，分别作为左、右子树构造
一棵新的二叉树，并置这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和。
（3）从F中删去这两棵树，同时加入刚生成的新树。
（4）重复（2）和（3）两步，直至F中只含一棵树为止。

 

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三、哈夫曼编码思想：

1、将构成电文的每个不同字符作为叶子结点，其权值为电文中字符的使用频率或次数，构造哈夫曼树；

2、此哈夫曼树中从根到每个叶子结点都有一条唯一的路径，对路径上各分支约定，做分支标识为0码，右标识为1码；

3、则从根结点到叶子结点的路径上分支的0、1码组成的字符串即为该叶子结点的哈夫曼编码。

 

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四、指令的变长编码：

若要设计长短不等的编码，则必须是任一字符的编码都不是另一个字符编码的前缀，这种编码称作前缀编码。
哈夫曼编码就是使电文长度最短的前缀编码。

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五：试题：
用二进制来编码字符串“abcdabeaa”,需要能够根据编码，解码回原来的字符串，最少需要多长的二进制字符串？
A、17
B、18
C、19
D、29
解题步骤：
a出现4次，b出现2次，c出现1次，d出现1次，e出现1次。
画哈夫曼树：
                          9
                5                4(a)
      2                       3
1(c)   1(d)       1(e)     2(b)
即：
a:1 b:011 c:000 d:001 e:010
长度：a是4次，长度为4，其他长度都是3，其他字符有5个，
所以：4*1+5*3=19。

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