动态规划-1
70. 爬楼梯【简易】
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶
示例 2：
输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 2. 1 阶 + 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶
思路：
问题拆分：到达第n个台阶有两种方法：1.从【n-1】迈一步。2.从【n-2】迈两步。
用dp[i]记录到达第i个台阶的方法数，从而得到递推公式：dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2] 。
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if(n<3)return n;
else{
int dp[2]={1,2},t=0;
for(int i=3;i<=n;i++){
t=dp[1];
dp[1]=dp[0]+dp[1];
dp[0]=t;
}
return dp[1];
}
}
};
53. 最大子序和【简易】
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4], 输出: 6 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
思路：
问题拆分：下标【x】到【y】的子数组，判断加上【y+1】项后，与第【y+1】项相比，是大还是小。
1.如果前者大，那么加上[y+1]项肯定能组成更大。
2.如果后者大，那么就从[y+1]项开始，重新组成一个最大子数组。
dp[i]定义为以i结尾的某个子数组的最大值，递推公式为：dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
int res=nums[0];
int len=nums.size();
int dp[len+1];
dp[0]=nums[0];
for(int i=1;i<len;i++){
dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
res=max(res,dp[i]);
}
return res;
}
};
120. 三角形最小路径和【中等】
给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。
例如，给定三角形：
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
说明：
如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。
思路：用dp[i][j]代表走到(i-1)行，(j-1)列的最小值。它是由上边一行推出来的。
递推公式为：1.若为第一个元素：dp[i][j]=dp[i-1][j]+triangle[i][j]
2.若为最后一个元素：dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+triangle[i][j]
3.若为中间元素：dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle[i][j]
最后再遍历一下最后一行的dp数组，求得最小值。
class Solution {
public:
int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
int m=triangle.size();
int dp[m+1][m+1];
dp[0][0]=triangle[0][0];
for(int i=1;i<m;i++){
for(int j=0;j<i+1;j++){
if(j==0){dp[i][j]=dp[i-1][j]+triangle[i][j];}
else if(j==i){dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+triangle[i][j];}
else { dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle[i][j];}
}
}
int res=dp[m-1][0];
// for(int i=0;i<m;i++)
// for(int j=0;j<=i;j++)
// cout<<dp[i][j]<<',';
for(int j=1;j<m;j++){
res=min(res,dp[m-1][j]);
}
return res;
}
};
