最小函数依赖求解

最小函数依赖解法总结

考研复试要学习数据库，数据库里面好多算法和知识点单看教科书很难理解，然后我就结合网上的博客和课本（数据库系统概论）对一些常考算法做一些总结，欢迎各位批评指正。

最小函数依赖集概念：如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集。

1. F中任意函数依赖的右部仅含有一个属性。
2. F中不存在这样的函数依赖 $X \rightarrow A$ ,使得$F$ 与$F - \{X\rightarrow A\}$ 等价。意思就是$X\rightarrow A$是不可或缺的。
3. $F$中不存在这样的函数依赖$X \rightarrow A$ ,$X$有真子集$Z$使得$F-\{X \rightarrow A\}\cup\{Z \rightarrow A\}$ 与$F$等价。意思就是$X$中没有多余的元素。

最小依赖集的求法：

1. 逐一检查$F$中各函数依赖$FD_i: X \rightarrow Y$ ,若$Y=A_1A_2.......A_k, k \geq 2$ 则用 $\{X \rightarrow A_j | j = 1, 2, .......,k\}$ 来去带$X \rightarrow Y$。通过这个算法我们要$F$中的函数依赖的右属性全部拆为单个属性。经过这一步算法F变为$F_1$
2. 逐一检查$F_1$中各函数依赖$F_1D_i: X \rightarrow A$ ,令$G = F_1 - \{X \rightarrow A\}$ ,若$A\in X_G ^+$ ,则从$F_1$ 中去掉此函数依赖。我们检查$F_1$ 中的每个函数依赖：$X \rightarrow A$ 从$F_1$ 中去掉此函数依赖得到函数依赖集G然后在求X关于G的属性闭包得到$X_G^+$ 如果A属于该属性闭包则删掉次函数依赖。经过这一步算法$F_1$ 变为$F_2$ 。注意在求解的过程中F是动态变化的。
3. 逐一取出$F_2$ 中各函数依赖$F_2D_i：X \rightarrow A$,设$X = B_1B_2........B_m, m \geq 2$, 逐一考察$B_i(i =1,2,..,m)$ ,若$A \in (X - B_i)^+_F{_2}$ ，则以$X - B_i$ 这一步我们要检查$F_2$中的所有左属性，将左属性化成最简。一定要注意在求解的过程中$F_2$ 是不变的。经过这一步如果$F_2$ 相对于$F_1$ 发生了变化，则转为步骤2在计算一次。

例题：

$R(U,F)中，U = \{A,B,C,D,E,G\}, F = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow BC\}$ 求最小依赖集。

1. 执行第一步将F中的所有函数依赖的右属性拆成单个属性，例如：$ADG \rightarrow BC,拆分成 ADG \rightarrow B 和 ADG \rightarrow C$ 拆分后$F = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}$ 。

2. 执行第二部算法检查每一个函数依赖。

   检查$B \rightarrow D$ : $G = F - \{B \rightarrow D\} = \{DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}$ .然后求B关于G的属性闭包$B_G^+ = \{B\}$其中不包含D不用删掉

   检查$DG \rightarrow C$ : $G = \{B \rightarrow D, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}$ , $(DG)_G^+ = \{D,G\}$ 不包含C不删。

   检查$BD \rightarrow E$ :$G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}$ , $(BD)^+_G = \{B,D\}$ 不包含E不删。

   检查$AG \rightarrow B$ :$G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, ADG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}$ , $(AG)^+_G = \{A,G\}$ 不包含B不删。

   检查$ADG \rightarrow B$ : $G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}$ , $(ADG)^+_G = \{A,D,G,B,C,E\}$ 包含B删掉。

   检查$ADG \rightarrow C$ : $G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B\}$ , $(ADG)^+_G = \{A,D,G,B,C,E\}$ 包含C删掉。

   经过第二步算法的计算$F = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B\}$ .

   上述步骤中F是动态变化的。

3. 执行第三步检查每一个函数依赖的左属性：

   检查$DG \rightarrow C$ : 先去掉D即为$G \rightarrow C$ $G^+_F = \{G\}$ 不包含C留D，在去掉G, $D \rightarrow C$ $D_F^+ = \{D\}$

   检查$BD \rightarrow E$ : 去掉B，$D \rightarrow E$ $D^+_F = \{D\}$ 不包含E留B，去掉D， $B \rightarrow E$ $B_F^+ = \{B,D,E\}$ 含E，去掉D。

   检查$AG \rightarrow B$ :去掉A, $G \rightarrow B$ , $G^+_F = G$ 不好含B，留，去掉G，$A \rightarrow B$ $A^+_F = \{A\}$ 不包含B，留。

   注意第三步算法中的F都是第二步算法计算出来的F，是不变的，最后才去掉的

4. $F = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, B \rightarrow E, AG \rightarrow B\}$ 发生了变化，在计算一遍步骤2.

   检查$B \rightarrow D$: $G = \{DG \rightarrow C, B \rightarrow E, AG \rightarrow B\}$ .$(B)^+_G = \{B,E\}$ 不包含D，留

   检查$DG \rightarrow C: G = \{B \rightarrow D, B \rightarrow E, AG \rightarrow B\}.(DG)^+_G = \{D,G\}$ 不包含C，留

   检查$B \rightarrow E: G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, AG \rightarrow B\}$ .$(B)^+_G = \{B,D\}$ 不包含E，留

   检查$AG \rightarrow B: G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, B \rightarrow E\}$ . $(AG)^+_G = \{AG\}$ 不包含B，留

经过以上3步算法最终可得到最小函数依赖$F = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, B \rightarrow E, AG \rightarrow B\}$ 。