最小函数依赖求解
最小函数依赖解法总结
考研复试要学习数据库，数据库里面好多算法和知识点单看教科书很难理解，然后我就结合网上的博客和课本（数据库系统概论）对一些常考算法做一些总结，欢迎各位批评指正。
最小函数依赖集概念：如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集。
- F中任意函数依赖的右部仅含有一个属性。
- F中不存在这样的函数依赖 $ X \rightarrow A$ ,使得\(F\) 与\(F - \{X\rightarrow A\}\) 等价。意思就是\(X\rightarrow A\)是不可或缺的。
- \(F\)中不存在这样的函数依赖\(X \rightarrow A\) ,\(X\)有真子集\(Z\)使得\(F-\{X \rightarrow A\}\cup\{Z \rightarrow A\}\) 与\(F\)等价。意思就是\(X\)中没有多余的元素。
最小依赖集的求法：
- 逐一检查\(F\)中各函数依赖\(FD_i: X \rightarrow Y\) ,若\(Y=A_1A_2.......A_k, k \geq 2\) 则用 \(\{X \rightarrow A_j | j = 1, 2, .......,k\}\) 来去带\(X \rightarrow Y\)。通过这个算法我们要\(F\)中的函数依赖的右属性全部拆为单个属性。经过这一步算法F变为\(F_1\)
- 逐一检查\(F_1\)中各函数依赖\(F_1D_i: X \rightarrow A\) ,令\(G = F_1 - \{X \rightarrow A\}\) ,若\(A\in X_G ^+\) ,则从\(F_1\) 中去掉此函数依赖。我们检查\(F_1\) 中的每个函数依赖：\(X \rightarrow A\) 从\(F_1\) 中去掉此函数依赖得到函数依赖集G然后在求X关于G的属性闭包得到\(X_G^+\) 如果A属于该属性闭包则删掉次函数依赖。经过这一步算法\(F_1\) 变为\(F_2\) 。注意在求解的过程中F是动态变化的。
- 逐一取出\(F_2\) 中各函数依赖\(F_2D_i：X \rightarrow A\),设\(X = B_1B_2........B_m, m \geq 2\), 逐一考察\(B_i(i =1,2,..,m)\) ,若\(A \in (X - B_i)^+_F{_2}\) ，则以\(X - B_i\) 这一步我们要检查\(F_2\)中的所有左属性，将左属性化成最简。一定要注意在求解的过程中\(F_2\) 是不变的。经过这一步如果\(F_2\) 相对于\(F_1\) 发生了变化，则转为步骤2在计算一次。
例题：
\(R(U,F)中，U = \{A,B,C,D,E,G\}, F = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow BC\}\) 求最小依赖集。
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执行第一步将F中的所有函数依赖的右属性拆成单个属性，例如：\(ADG \rightarrow BC,拆分成 ADG \rightarrow B 和 ADG \rightarrow C\) 拆分后\(F = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}\) 。
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执行第二部算法检查每一个函数依赖。
检查\(B \rightarrow D\) : \(G = F - \{B \rightarrow D\} = \{DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}\) .然后求B关于G的属性闭包\(B_G^+ = \{B\}\)其中不包含D不用删掉
检查\(DG \rightarrow C\) : \(G = \{B \rightarrow D, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}\) , \((DG)_G^+ = \{D,G\}\) 不包含C不删。
检查\(BD \rightarrow E\) :\(G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}\) , \((BD)^+_G = \{B,D\}\) 不包含E不删。
检查\(AG \rightarrow B\) :\(G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, ADG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}\) , \((AG)^+_G = \{A,G\}\) 不包含B不删。
检查\(ADG \rightarrow B\) : \(G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B, ADG \rightarrow C\}\) , \((ADG)^+_G = \{A,D,G,B,C,E\}\) 包含B删掉。
检查\(ADG \rightarrow C\) : \(G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B\}\) , \((ADG)^+_G = \{A,D,G,B,C,E\}\) 包含C删掉。
经过第二步算法的计算\(F = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, BD \rightarrow E, AG \rightarrow B\}\) .
上述步骤中F是动态变化的。
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执行第三步检查每一个函数依赖的左属性：
检查\(DG \rightarrow C\) : 先去掉D即为\(G \rightarrow C\) \(G^+_F = \{G\}\) 不包含C留D，在去掉G, \(D \rightarrow C\) \(D_F^+ = \{D\}\)
检查\(BD \rightarrow E\) : 去掉B，\(D \rightarrow E\) \(D^+_F = \{D\}\) 不包含E留B，去掉D， \(B \rightarrow E\) \(B_F^+ = \{B,D,E\}\) 含E，去掉D。
检查\(AG \rightarrow B\) :去掉A, \(G \rightarrow B\) , \(G^+_F = G\) 不好含B，留，去掉G，\(A \rightarrow B\) \(A^+_F = \{A\}\) 不包含B，留。
注意第三步算法中的F都是第二步算法计算出来的F，是不变的，最后才去掉的
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\(F = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, B \rightarrow E, AG \rightarrow B\}\) 发生了变化，在计算一遍步骤2.
检查\(B \rightarrow D\): \(G = \{DG \rightarrow C, B \rightarrow E, AG \rightarrow B\}\) .\((B)^+_G = \{B,E\}\) 不包含D，留
检查\(DG \rightarrow C: G = \{B \rightarrow D, B \rightarrow E, AG \rightarrow B\}.(DG)^+_G = \{D,G\}\) 不包含C，留
检查\(B \rightarrow E: G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, AG \rightarrow B\}\) .\((B)^+_G = \{B,D\}\) 不包含E，留
检查\(AG \rightarrow B: G = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, B \rightarrow E\}\) . \((AG)^+_G = \{AG\}\) 不包含B，留
经过以上3步算法最终可得到最小函数依赖\(F = \{B \rightarrow D, DG \rightarrow C, B \rightarrow E, AG \rightarrow B\}\) 。
