# 程序员逻辑题 - 三门问题

程序员逻辑题 - 三门问题

介绍

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人（知道正确答案）开启剩下两扇门中没有中奖的那一扇。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？

解法一

摘抄自百度百科：

有三种可能的情况，全部都有相等的可能性（1/3）：

(1/3) 参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。

(1/3) 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。

(1/3) 参赛者挑汽车，主持人挑羊一号。转换将失败。

显然转换成功率达到了2/3

解法二

主持人的操作有迷惑性，不如想象一下主持人是另一种操作：

新操作：你选择一扇门，主持人拿另外两扇门跟你换。你选择换（明显概率编程2/3），那兑换完成后，主持人再把你拥有的两扇门中没有汽车的一扇门打开。

对比这两种操作的区别：

旧操作：用户选择一扇门->主持人开启另外两扇中的错误答案->用户转换

新操作：用户选择一扇门->用户一换二->主持人开启两扇中的错误答案

两种行为的区别在主持人开门发生在转换前还是转换后，这并不影响最终概率，所以这两种行为是等价的。直白点说：原题等价于主持人拿两扇门跟你换一扇门。概率显然从1/3变成2/3

困惑解除

虽然通过穷举很容易得出答案，但总感觉有点不服，因为我们总感觉三个都是等价的。

ABC三扇门，假设你选择A，主持人打开B。

A一直是1/3，但主持人开启B的时候，C已经从1/3变成了2/3，为什么B被开启，不是A的概率为50% C也50%？

那是因为主持人只有权限排除BC中的错误答案，没有权限排除A的错误答案。所以A没有中奖的概率没有经过主持人“优化”，而C有。