动态规划

动态规划简介：

　　动态规划（dynamic programming）与分治方法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题（在这里，“programming”指的是一种表格法，并非编写计算机程序）。分治方法将问题划分为互不相交的子问题，递归地求解子问题，再将它们的解组合起来，求出原问题的解。与之相反动态规划应用于子问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子子问题（子问题的求解是递归进行的，将其划分为更小的子子问题）。在这种情况下，分治算法会做许多不必要的工作，它会反复地求解那些公共子子问题。而动态规划算法对每个子子问题只求解一次，将其解保存在一个表格中，从而无需每次求解一个子子问题时都重新计算，避免了这种不必要的计算工作。

　　动态规划方法通常用来求解最优化问题。这类问题可以有很多可行解，每个解都有一个值，我们希望寻找具有最优值（最小值或最大值）的解。我们称这样的解为问题的一个最优解，而不是最优解，因为可能有多个解都达到最优值。

　　通常按如下4个步骤来设计一个动态规划算法：

　　　　1、刻画一个最优解的结构特征（即寻找状态量）

　　　　2、递归地定义最优解的值

　　　　3、计算最优解的值，通常采用自底向上的方法

　　　　4、利用计算出的信息构造一个最优解

 

动态规划原理：

　　适合应用动态规划方法求解的最优化问题应该具备的两个要素：最优子结构和子问题重叠

　　最优子结构

　　　　用动态规划求解最优化问题的第一步就是刻画最优解的结构。如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，就称此问题具有最优子结构性质。因此，某个问题是否适合应用动态规划算法，它是否具有最优子结构性质是一个好线索（当然，具有最优子结构性质也可能意味着适合应用贪心策略）。使用动态规划方法时，我们用子问题的最优解来构造原问题的最优解。因此，我们必须小心确保考察了最优解中用到的所有子问题。

　　重叠子问题：

　　　　适合用动态规划方法求解的最优化问题应该具备的第二个性质是子问题空间必须足够“小”，即问题的递归算法会反复地求解相同的子问题，而不是一直生成新的子问题。一般来讲，不同子问题的总数是输入规模的多项式函数为好。如果递归算法反复求解相同的子问题，我们就称最优化问题具有重叠子问题性质。与之相对的，适合用分治方法求解的问题通常在递归的每一步都生成全新的子问题。动态规划算法通常这样利用重叠子问题性质：对每个子问题求解一次，将解存入一个表中，当再次需要这个子问题时直接查表，每次查表的代价为常量时间。