图的基本概念

图的基本概念

之前写的博客没了，在这里重新做个总结，当复习吧。

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一个图是由点集V和边集E组成的，一般记作G=<V,E>，一条边连接两个顶点。点集V中包含了所有顶点，边集E中包含了所有边，点集V为空称为空图。

全部由无向边构成的图称为无向图，由有向边构成的图成为有向图。

自环

边连接的两个点是同一个点。

重边

无向图中指在两点之间由多条边连接。

有向图中两点之间有多条同向的边连接。

孤点

没有连接边的点叫孤点。

简单图

没有自环和重边的图称作简单图。

度数

1. 无向图

   对于无向图中的顶点v，v作为边的端点次数，称为v的度数，记作$d(v)$。

2. 有向图

   对于有向图中的顶点v，v作为边的起点的次数称作为v的度数，记作$d^+(v)$。v作为边的终点的次数称作v的入度，记作$d^-(v)$，

   顶点v的度数$d(v)=d^+(v)+d^-(v)$.

每个图G的最大度为所有顶点度数的最大值，记作$\Delta(G)$。

最小度数为所有顶点度数的最小值，记作$\delta(G)$。

一张图G的所有点的度数和为边的两边，有向图所有顶点的出度和等于入读和。

完全图

无向图

设G为一个有n个节点的无向简单图，若G中每个顶点都与其余n-1个顶点有边相连，则称G为n阶无向完全图，简称n阶无向完全图，记作$K_n$。

总边数为$n(n-1)/2$。

有向图

设G为一个有n个节点的有向简单图，若G中每个顶点都与其余n-1个顶点有边相连，且都有这些节点连向它的边。则称G为n阶有向完全图，简称n阶无向完全图。

总边数为$n(n-1)$。

竞赛图

基于n阶无向完全图，给每条边任意确定一个方向形成的图，称作n阶竞赛图。

子图和生成子图

设G=<V,E>，G'=<V',E'>为两个图（都为无向或有向图），如果$V'\subseteq V$，且$E'\subseteq E$，则称G'为图G的子图，G称G'的母图，记作$G'\subseteq G$。

如果V' = V，则称G'为G的生成子图，生成子图可以与原图相同。

如果$V'\subset V$或$E'\subset E$，则称G'为真子图。

补图

设G=<V,E>是一个n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G称为完全图$K_n$需要添加的边的集合为边集的图，称为G的补图，记作$\bar{G}$。

顶点集相同，边集的交集为空，并集是完全图的边集，类比集合的概念进行理解。

同构

设G和G'是分别具有顶点集V和V'的两个图。如果存在一个双射h:V->V’，满足当且仅当$(v_i,v_j)$是G的边的时，$(h(v_i),h(v_j))$是G'的边，则称G和G'同构。

通路

对于一个图G，G中顶点与边的交替序列，$v_0e_1v_1e_2...e_nv_n$，称为$v_0$到$v_n$的通路，其中$v_0$，$v_n$称为通路的起点和终点。通路中边的条数称为它的长度，在有向图中，要保持边的方向一致。

回路

对于一条通路来讲，$v_0=v_n$，称为回路，如果$v_0=v_n$且其他所有顶点都不相同，则称为环。

路径

如果通路中的所有边两两不相同，称为迹，如果通路中的所有顶点都不相同，边也各不相同，则成为路径。

距离

图中连接两点之间的最短路径长度为距离。

连通性和连通块

无向图

连通性

设无向图G=<V,E>，u，v∈V，如果u，v之间存在通路，则称u，v是连通的。对于单点而言，也是连通的。

连通图

对于任意非空无向图G，若G中任意两个顶点都是连通的，则称G为连通图。

连通块（连通分量）

对于无向图G的一个连通子图H，如果不存在F满足$H \subset F\subseteq G$且F为连通图，则称H是G的一个连通块，H是一个极大连通子图。

有向图

设无向图G=<V,E>，u，v∈V，如果存在u到v的通路，则称u可达v。如果u，v相互可达，则称为u，v连通。

强连通

如果有向图G中的顶点两两可达，则称G为强连通图。

强连通块

与无向图的类似，可以定义有向图的强连通块，