欧拉公式

 

 1. 欧拉公式的发现

1740年10月8日，欧拉（Leonhard Euler ，1707～1783）写了一封信给他的老师约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667 ～ 1748），信中他提到一个发现，微分方程：

微分方程的解可以用两种方式给出，即：

微分方程的两个解

把两个解带入方程，很容易验证其正确性。（注：当时虚数还未被数学界公认，复平面的概念要到1799年才被韦塞尔提出来）

最初欧拉对这个问题确实感到纳闷，不过以他那非凡的数学灵感，他意识到，这两个看上去相差很大的表达式，其实是相等的，后来欧拉用“i”来表示虚数单位，并沿用沿用至今，于是欧拉猜测：

 

欧拉第一方程

在给约翰·伯努利的另外一封信中，还清楚地看到，欧拉还知道：

                                      欧拉第二方程

欧拉的继续研究中，关于自然对数的幂级数展开验证了这两个公式，更增强了他对以上两个公式的信心，于是在1948年，欧拉在他的著作《无穷小分析引论》中，正式提出了欧拉公式。

                                               欧拉公式

2. 复平面上的单位圆

在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：

  

3.对同一个点不同的描述方式

 

4. 欧拉公式的证明(欧拉公式与泰勒公式)

5.为什么  是圆周运动？

从图上可以推出  时，  在单位圆上转动了1弧度。

再来看看  ，这个应该是在单位圆上转动  弧度：

看来  确实是单位圆周上的圆周运动。

 

 

 资料来源:  

1.如何通俗地解释欧拉公式（e^πi+1=0）？