约瑟夫环问题

问题描述：有n个人，编号分别从0到n-1排列，这n个人围成一圈，现在从编号为0的人开始报数，当报到数字m的人，离开圈子，然后接着下一个人从0开始报数，依次类推，问最后只剩下一个人时，编号是多少？

分析：这就是著名的约瑟夫环问题，关于来历不再说明，这里直接分析解法。

        解法一：蛮力法。我曾将在大一学c语言的时候，用蛮力法实现过，就是采用标记变量的方法即可。

        解法一：循环链表法。从问题的本质入手，既然是围成一个圈，并且要删除节点，显然符合循环链表的数据结构，因此可以采用循环链表实现。

        解法三：递推法。这是一种创新的解法，采用数学建模的方法去做。具体如下：

                   首先定义一个关于n和m的方程f(n,m)，表示每次在n个编号0，1，...，n-1中每次删除的报数为m后剩下的数字，

                   在这n个数字中，第一个被删除的数字是(m-1)%n，为了简单，把(m-1)%n记作k，那么删除k之后剩下的数字为0，1，2，...，k-1，k+1，...，n-1

                   并且下一次删除的数字从k+1开始计数，这就相当于剩下的序列中k+1排在最前面，进而形成k+1,..,n-1,0,1,2,...,k-1这样的序列，这个序列最后剩下的数                      字应该和原序列相同，由于我们改变了次序，不能简单的记作f(n-1,m),我们可以记作g(n-1,m),那么就会有f(n,m)=g(n-1,m).

                  下一步，我们把这n-2个数字的序列k+1,..,n-1,0,1,2,...,k-1做一个映射，映射的结果是形成一个从0到n-2的序列。

                           k+1对0，k+2对1，......，n-1对n-k-2，0对n-k-1，1对n-k，....，k-1对n-2

                 这样我们可以把这个映射定义为p,则p(x)=(x-k-1)%n,它表示如果映射前的数字是x，映射后为(x-k-1)%n,从而这个映射的反映射问为p^-1(x)=(x+k+1)%n

                 由于映射之后的序列和原始序列具有相同的形式，都是从0开始的序列，所以可以用函数f来表示，即为f(n-1,m)，根据映射规则有：

                 g(n-1,m)=p^-1[f(n-n,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n,最后把之前的k=(m-1)%n带入式子就会有f(n,m)=g(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n.

                这样我们就可以得出一个递推公式，

                                                            当n=1时，f(n,m)=0;

                                                            当n>1时，f(n,m)=[f(n-1,m)+m]%n;

                有了这个公式，问题就变得多了。

      由于解法一和解法二，都很好理解，我就不再写具体的代码了，这里我给出解法三Java代码，用递归实现：

 

import java.util.*;
public class Main{
    public static int ysfh(int n,int m){
        if(n<=1)return 0;
        return (ysfh(n-n,m)+m)%n;
    }
    public static void main(String[] args) {
        // TODO 自动生成的方法存根
        Scanner scan=new Scanner(System.in);
        int n=scan.nextInt();
        int m=scan.nextInt();
        System.out.println("最后剩下的编号为："+ysfh(n,m));
    }

}

测试样例输出为：

10   3
最后剩下的编号为：3

 

可以看出来，这么复杂的一个问题递归只需要两行代码即可实现，因此在今后的编程的过程中，要灵活运用数学知识。