Top k问题（线性时间选择算法）
问题描述：给定n个整数，求其中第k小的数。
分析：显然，对所有的数据进行排序，即很容易找到第k小的数。但是排序的时间复杂度较高，很难达到线性时间，哈希排序可以实现，但是需要另外的辅助空间。
这里我提供了一种方法，可以在O(n)线性时间内解决Top k问题。关于时间复杂度的证明，不再解释，读者可以查阅相关资料。具体的算法描述如下：
算法：LinearSelect(S,k)
输入：数组S[1:n]和正整数k，其中1<=k<=n；
输出：S中第k小的元素
1. If n<20 Then 将S中的元素排序后输出第k个元素，算法结束；
2.将S划分为无公共元素的 floor(n/5) 个分组，每组5个元素，第 i 个组记为Si；
3.用插入排序算法将每个组Si 排序，求得中位数 mi ，其中 i=1,2,3,...,floor(n/5)；
4.递归调用本算法求得｛mi | 1<=i floor(n/5)｝的中位数（即第floor(n/10)小的元素）M；
5.划分S为A=｛x|x属于S 并且 x<M｝， B=｛x|x属于S 并且 x=M｝和C=｛x|x属于S 并且 x>M｝；
6. If |A|>k Then 输出 LinearSelect(A,k)；
7. ElseIf |A|+|B|<k Then 输出 LinearSelect(C,k-|A|-|B|)；
8. Else 输出M，算法结束；
当然了，本题是求第k小，如果求第k大，可以转换成对应的第n-k小，同样可以求。这个算法以后会经常用到，一定要掌握，但是如果数据量不超过20个的话，也可以直接排序求。
完整的Java代码如下，代码写法都比较通用，读者可以很容易转换为其他语言实现：
1 import java.lang.Math; 2 import java.util.Arrays; 3 import java.util.Scanner; 4 public class Topk { 5 public static int LinearSelect(int s[],int n,int k) 6 { int topk=0; 7 if(n<=0)return topk; //如果数组为空，则返回0 8 if(n<5) //这里对应算法的第一步。这里我定义的是小于5个，则直接排序，读者也可以自己设定 9 { 10 for(int i=0;i<n-1;i++) 11 for(int j=i+1;j<n;j++) 12 if(s[i]>s[j]) 13 {int t=s[i];s[i]=s[j];s[j]=t;} 14 topk= s[k-1]; 15 } 16 else{ 17 18 int ss[][]=new int[n/5][5]; //对应算法的第二步 19 int j=-1; 20 for(int i=0;i<n/5*5;i++) 21 { if(i%5==0)j++; 22 ss[j][i%5]=s[i]; 23 24 } 25 26 int sss[]=new int[n/5]; 27 for(int i=0;i<n/5;i++) //对应算法的第三步 28 { 29 Arrays.sort(ss[i]); 30 sss[i]=ss[i][2]; 31 32 } 33 Arrays.sort(sss); 34 int M=sss[n/5/2]; //对应算法的第四步 35 36 int A[]=new int[n]; //对应算法的第五步 37 int B[]=new int[n]; 38 int C[]=new int[n]; 39 int a=0,b=0,c=0; //作为三个结合的指针 40 for(int i=0;i<n;i++) //放入对应的集合中 41 { 42 if(s[i]<M)A[a++]=s[i]; 43 if(s[i]==M)B[b++]=s[i]; 44 if(s[i]>M)C[c++]=s[i]; 45 } 46 47 if(a>k-1)topk=LinearSelect(A,a,k); //对应算法第六步，我定义的数组是从下标0开始的忙，所以这里是k-1 48 else if(a+b<k-1)topk=LinearSelect(C,c,k-a-b); //对应算法第七步 49 else topk=M; //对应算法第八步 50 51 } 52 return topk; //返回最终的Top k 53 } 54 public static void main(String[] args) { 55 56 int s[]={16,9,92,40,25,27}; 57 int n=6; 58 int k=2; 59 System.out.print("数组为："); 60 for(int i=0;i<n;i++) 61 { 62 System.out.print(s[i]+","); 63 } 64 System.out.println(); 65 System.out.println("第"+k+"小的数为："+LinearSelect(s,n,k)); 66 67 } 68 69 }
输出结果为：
数组为：16,9,92,40,25,27,
第2小的数为：16
