题解 : Luogu P2197 【模板】nim 游戏

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结论

如果 $a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n\ne 0$ ，则先手必胜

证明

1. 操作到最后时，每堆石子数都是$0$, $0\oplus 0\oplus ...\oplus 0=0$

2. 如果$a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=x\ne 0$,那么肯定可以通过从某一堆中拿走若干颗石子后，将异或结果变成0

   证明：我们先假设 x的最高一位的1在第k位,
   那么在 $a_1,a_2,...,a_n$ 中，一定存在一个 $a_i$ ,它的第k位为1，
   $a_i\oplus x$一定是小于$a_i$的，那么在$a_i$中取$a_i-(a_i\oplus x)$颗石子，就可以得到$a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0$,
   因为$a_i$中取了$a_i-(a_i\oplus x)$颗石子后，就还剩$a_i-(a_i-(a_i\oplus x))$颗石子，也就是$a_i\oplus x$颗

3. 如果$a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0$,那么无论怎么拿，最终的异或结果一定不为0

   反证法:假设从第i堆石子中拿了若干个,结果仍然为0
   先设第i堆拿完后还剩${a_i}^{\prime }$颗石子,由于不能不拿,所以$0<{a_i}^{\prime }<a_i$,而且$a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus {a_i}^{\prime }\oplus ...\oplus a_n=0$,
   那么$(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_i\oplus ...\oplus a_n)\oplus (a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus {a_i}^{\prime }\oplus ...\oplus a_n)=0$,
   则${a_i}^{\prime }\oplus a_i=0$,也就是${a_i}^{\prime }=a_i$,和$0<{a_i}^{\prime }<a_i$矛盾

那么如果$a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=x\ne 0$,那么先手总可以从某堆拿走若干颗石子，使得$a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0$，那么最终后手一定没有石子可以拿，则先手必胜
否则，无论先手怎么拿，都会使得$a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n\ne 0$，那么此时后手就变成了先手，所以最初的先手必败

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int k,n,ans,x;
    scanf("%d",&k);
    while (k--)
    {
        ans=0;
        scanf("%d",&n);
        while (n--)
        {
            scanf("%d",&x);
            ans^=x;
        }
        if (ans) puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    return 0;
}