梯度，也即该物理参数的变化率，导数

梯度，也即该物理参数的变化率。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

形式化定义[编辑]

一个标量函数 $\varphi$ 的梯度记为：

$\nabla \varphi$ 或 $\operatorname{grad} \varphi$

其中 $\nabla$ （nabla）表示向量微分算子。

$\nabla \varphi$ 在三维直角坐标中表示为

$\nabla \varphi =\begin{pmatrix} {\frac{\partial \varphi}{\partial x}}, {\frac{\partial \varphi}{\partial y}}, {\frac{\partial \varphi}{\partial z}} \end{pmatrix}$

（参看偏导数和向量。）

实标量函数的梯度^{[来源请求]}[编辑]

相对于n×1向量x的梯度算子记作 $\nabla_{\boldsymbol{x}}$ ，定义为

$\nabla_{\boldsymbol{x}} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \left[ \frac{\partial }{\partial x_1}, \frac{\partial }{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial }{\partial x_n} \right]^T=\frac{\partial }{\partial \boldsymbol{x}}$

对向量的梯度[编辑]

以n×1实向量x为变元的实标量函数f(x)相对于x的梯度为一n×1列向量x，定义为

$\nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x}) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \left[ \frac{\partial f(\boldsymbol{x}) }{\partial x_1}, \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n} \right]^T=\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}$

m维行向量函数 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=[f_1(\boldsymbol{x}),f_2(\boldsymbol{x}),\cdots,f_m(\boldsymbol{x})]$ 相对于n维实向量x的梯度为一n×m矩阵，定义为

$\nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x}) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(\boldsymbol{x})}{\partial x_1} &\frac{\partial f_2(\boldsymbol{x})}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m(\boldsymbol{x})}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f_1(\boldsymbol{x})}{\partial x_2} &\frac{\partial f_2(\boldsymbol{x})}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m(\boldsymbol{x})}{\partial x_2} \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_1(\boldsymbol{x})}{\partial x_n} &\frac{\partial f_2(\boldsymbol{x})}{\partial x_n} & \cdots &\frac{\partial f_m(\mathbf{x})}{\partial x_n} \\ \end{bmatrix}=\frac{\partial \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}$

对矩阵的梯度[编辑]

实标量函数 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{A})$ 相对于m×n实矩阵A的梯度为一m×n矩阵，简称梯度矩阵，定义为

$\nabla_{\boldsymbol{A}} \boldsymbol f(\boldsymbol{A}) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \begin{bmatrix} \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{11}} &\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{12}} & \cdots & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{1n}} \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{21}} &\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{22}} & \cdots & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{2n}} \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{m1}} &\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{m2}} & \cdots &\frac{\partial f(\mathbf{A})}{\partial a_{mn}} \\ \end{bmatrix}=\frac{\partial \boldsymbol{f}(\boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{A}}$

posted @ 2014-02-26 17:26 tsguosj 阅读(739) 评论(0) 编辑收藏举报

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