线性与非线性
就是变量是一次的就叫做线性,否则就是非线性。
不过每个具体问题都不尽相同。
1. 比如线性函数,就是自变量都是一次的,f(x1,x2,...,xn)=a0+a1x1+a2x2+...+anxn ;
“线性”与“非线性”,常用于区别函数y = f(x)对自变量x的依赖关系。线性函数即一次函数,其图像为一条直线。其它函数则为非线性函数,其图像不是直线。
线性,指量与量之间按比例、成直线的关系,在空间和时间上代表规则和光滑的运动;而非线性则指不按比例、不成直线的关系,代表不规则的运动和突变。
线性关系是指自变量x与因变量yo之间可以表示成y=ax+b ,(a,b为常数),即说x与y之间成线性关系。不能表示成y=ax+b ,(a,b为常数),即非线性关系,非线性关系可以是二次,三次等函数关系,也可能是没有关系。
2. 线性方程
线性指的是方程中函数的导数和函数本身都是一次的,但这里仅仅是对于y本身来说,对x没限制.
也就是说y'+p(x)y+q(x)=0的形式.其中对于p(x)和q(x)并不做限制.
形式如(y')²+p(x)y+q(x)=0, y'+p(x)y²+q(x)=0等形式的就不再是线性方程.
3.又比如,
微分方程:一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。 f(x,y',y'',…``…y(n))=0
线性微分方程,就是关于各个变量的各阶导数都是一次的,注意是次数是一次,而不是指的一阶导数。y''(x)+y'(x)=0就是线性微分方程,[y'(x)]^2+y'(x)=0就是非线性的。
具体点说:
线性微分方程,是指以下形式的微分方程:
其中微分算子L是线性算子,y是一个未知的函数,等式的右面是一个给定的函数。L是线性的条件,排除了诸如把y的导数平方那样的运算;但允许取y的二阶导数。因此,线性微分方程的一般形式是:
其中D是微分算子d/dx(也就是Dy = y' ,D2y = y",……),ai是给定的函数。这个微分方程是n阶的,因为方程中含有y的n阶导数,而不含n+1阶导数。
如果 f(x) = 0,那么方程便称为齐次线性微分方程,它的解称为补函数。这是一种很重要的方程,因为在解非齐次方程时,把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解,便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果ai 是常数,那么方程便称为常系数线性微分方程。