一元二次方程易错点
一元二次方程易错点
概述
中考的一元二次方程在数学层面上很简单，但由于其范围的限定，有许多的易错点。
易错点
1. 判定
要求：①一个未知数②最高二次③整式方程（整式方程看化简后的次数，分式或根式看化简前的次数）
根据方程次数求参数值
关于\(x\)的方程\(\displaystyle (m+1)x^{m^2+1}+(m-3)x-1=0\)是一元一次方程，则【\(m=\) \(0或-1\) 】
对于不定次项，要考虑不存在（系数为0）和1次或0次的情况
2. 解方程
注意
- 千万不能写方程无解，
- 二次方程只可能无实根方程的两个解必须写在一行（换行的“，”不能表示或的关系）
直接开平方法
\((3x-5)^2=a\)
当\(a<0\)时，方程无实根
当\(a=0\)时，\(3x-5=0\)（一定要单独考虑0的情况，算出来的结果和开方的不同）
\(\displaystyle x_1=x_2=\frac{5}{3}\)（化成一次方程依然有两个解）
当\(a>0\)时，…………
配方法
配方说明\(\neq0\)
先证明一定\(>0\)或\(<0\)，再另起一行说\(\neq0\)
公式法
求根公式
当\(b^2-4ac\geq0\)时，\(\displaystyle x=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2}\)
当\(b^2-4ac<0\)时，方程无实根
整体法
已知\(x^2+xy-y^2=0\)，求\(\displaystyle \frac{x}{y}(y\neq0)\)
将\(\displaystyle \frac{x}{y}\)看作整体
\(\displaystyle \frac{x^2}{y^2}+\frac{x}{y}-1=0\)
\(\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)
将\(y\)看作参数暴算
\(\displaystyle x=\frac{-y\pm\sqrt{5}y}{2}\)
\(\displaystyle ∴\frac{x}{y}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
使用整体法（但题目没有限制定义域）之后，要代回检验
已知\(\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=0\)，求\(\displaystyle x+\frac{1}{x}\)的值
\(\displaystyle (x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-2=0\)
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}=……=\frac{-1\pm3}{2}\)
当\(\displaystyle x+\frac{1}{x}=-2\)时，……
\(x_1=x_2=-1\)
当\(\displaystyle x+\frac{1}{x}=1\)时，……
\(b^2-4ac=(-1)^2-4<0\)无实根，舍去
综上，……\(x^2-|x|-2=0\)
\(|x|^2-|x|-2=0\)
\((|x|-2)(|x|+1)=0\)\(|x|取2\)
\(x_1=2,x_2=-2\)
讨论根的情况
一定要考虑\(a=0\)的情况，分类讨论
韦达定理
内容
对\(ax^2+bx+c=0(a\neq0)\)，在\(b^2-4ac\geq0\)时，有\(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a} , x_1x_2=\frac{c}{a}\)
当方程中有字母系数时，要判根，全是数字系数就不用
已知关于\(x\)的方程\(x^{2}+(2 k-1) x+k^{2}-1=0\)的两根的平方和为\(9\)，求\(k\)的值
①
\[b^2-4ac=(2k-1)^2-4(k^2-1)=-4k+5\geq 0 \]\[k\leq\frac{5}{4} \]②
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \]\[=(2k-1)^2-2(k^2-1) \]\[=4k^2-4k+1-2k^2+2 \]\[=2k^2-4k+3=9 \]\[2k^2-4k-6=0 \]\[(k+1)(k-3)=0 \]\[k_1=-1,k_2=3>\frac54(\text{舍}) \]
“是根”（××是××的根）
代入法
整体法
用大除法把已知代数式给除掉（然后替换成常量\(\times\)另一个代数式）将含有字母的部分因式分解，转化为已知式的积或含有为0的式子的积（有一定的思维难度）
韦达定理
前提：齐次（不齐次要先降次）
可以通过代入原方程的部分，使方程的部分项降次，从而形成其次的状态，然后因式分解+韦达定理即可
应用
根据题干列方程
所有数字都从题干中来注意实际情况，一定要代回，注意题干的隐含条件（“最简二次根式”，一定要检验最简）
销售问题
计算量很大，有一定的难度注意题干中说明的目的“为了尽快减少库存”“为了使客户得到实惠”
南京的学生计算能力较差，于是口头规定所有大数据方程可以十字相乘，千万不要做无锡的计算题，他们有计算器。
