P1450 [HAOI2008]硬币购物

P1450 [HAOI2008]硬币购物

原题链接

题面

题目描述

硬币购物一共有4种硬币。面值分别为\(c_1,c_2,c_3,c_4\)。某人去商店买东西，去了tot次。每次带\(d_i\)枚\(c_i\)硬币，买\(s_i\)的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

输入格式

第一行 \(c_1,c_2,c_3,c_4,tot\)
下面\(tot\)行 \(d_1,d_2,d_3,d_4,s\)

输出格式

每次的方法数

输入输出样例

输入 #1

1 2 5 10 2
3 2 3 1 10
1000 2 2 2 900

输出 #1

4
27

说明/提示

\(d_i,s\leq100000,tot\leq1000\)

题解

首先我们很容易想到暴力背包的做法，复杂度为\(\Theta(tot\cdot d\cdot s)\)肯定会超时，于是此时我们就需要用到容斥背包了

数列的容斥原理在一个特征时体现为差分思想，我们考虑只有一种硬币。我们先进行一次无限背包，价格为i的方案数记为f[i]，目标价记为sum，于是无限制的方案数为f[sum]，不合法的方案数为f[tot-c(d+1)]。
为什么呢？因为不合法即用了d+1个硬币，而所有用了d+1个硬币的状态必须经过f[tot-c(d+1)]才能转移到f[sum]，于是我们的合法方案数就是f[sum]-f[tot-c*(d+1)]了

对于多个限制的情况，\(\displaystyle f[sum]-f[tot-\sum_{i\in S} c_i(d_i+1)]\)就表示同时超额使用了S中的所有硬币种类的方案数，这就符合容斥原理，相当于我们可以求解任意集合的交集，最终要求所有集合并集的补集，这就很简单了，奇数次减偶数次加即可。

至于枚举集合的交并情况，我们可以用二进制枚举，代码也很容易写

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=1e9+7,MAXN=1e5+1,MAXC=5;
int T,N,c[MAXC],d[MAXC];
LL f[MAXN];
int main(){
	for(int i=1;i<=4;i++)
		scanf("%d",c+i);
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=4;i++)
		for(int j=c[i];j<MAXN;j++)
			f[j]+=f[j-c[i]];
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		LL sum,ans=0;
		for(int i=1;i<=4;i++)
			scanf("%d",d+i);
		scanf("%lld",&sum);
		for(int i=0;i<16;i++){/*binary*/
			LL ii=sum,op=1;
			for(int j=1;j<=4;j++){
				if((i>>(j-1))&1){
					ii-=c[j]*(d[j]+1);
					op=-op;
				}
			}
			if(ii<0)
				continue;
			ans+=op*f[ii];
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}