线段树区间最大子段和

线段树区间最大子段和

应用场景

支持单点修改时维护区间的最大字段和

核心思想

利用线段树的分治思想，区间内的子段可以分为完全在左侧的，穿过中点的和完全在右侧的。

实现

维护区间最大字段和基于不带lazy_tag的线段树，只需要将状态由和变为结构体即可。
首先，我们定义一种结构体，包含区间和，从左侧开始的最大字段和，从右侧开始的最大字段和与没有要求的最大字段和。

struct node{
	LL sum,maxl,maxr,maxv;
	node(){
		sum=maxl=maxr=maxv=0;
	}
};

对于一个区间，我们只需要将其分成左右两个部分，按照下面的代码更新即可。

inline void push_up(int x){
	A[x].sum=A[x<<1].sum+A[x<<1|1].sum;
	A[x].maxl=max(A[x<<1].maxl,A[x<<1].sum+A[x<<1|1].maxl);
	A[x].maxv=max(A[x<<1].maxr+A[x<<1|1].maxl,max(A[x<<1].maxv,A[x<<1|1].maxv));
	A[x].maxr=max(A[x<<1|1].maxr,A[x<<1].maxr+A[x<<1|1].sum);
}

在操作中，建树、单点修改都是正常的，只需要设计区间查询最大字段和。
此处我们返回一个结构体，包含查询范围内的状态，每次按照分治的规则归并即可

node query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
	if(ql<=l&&r<=qr){
		return A[x];
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(qr<=mid)
		return query(x<<1,l,mid,ql,qr);
	if(ql>mid)
		return query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
	node left=query(x<<1,l,mid,ql,qr),right=query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr),ret;
	ret.maxv=max(left.maxr+right.maxl,max(left.maxv,right.maxv));
	ret.maxl=max(left.maxl,left.sum+right.maxl);
	ret.maxr=max(right.maxr,left.maxr+right.sum);
	return ret;
}

例题

[Luogu P4513 小白逛公园](%3Ca href="https://www.luogu.org/problemnew/show/P4513"%3Ehttps://www.luogu.org/problemnew/show/P4513%3C/a%3E)

题目描述

在小新家附近有一条“公园路”，路的一边从南到北依次排着nn个公园，小白早就看花了眼，自己也不清楚该去哪些公园玩了。一开始，小白就根据公园的风景给每个公园打了分-.-。小新为了省事，每次遛狗的时候都会事先规定一个范围，小白只可以选择第aa个和第bb个公园之间（包括aa、bb两个公园）选择连续的一些公园玩。小白当然希望选出的公园的分数总和尽量高咯。同时，由于一些公园的景观会有所改变，所以，小白的打分也可能会有一些变化。那么，就请你来帮小白选择公园吧。

输入输出格式

输入格式：

第一行，两个整数NN和MM，分别表示表示公园的数量和操作（遛狗或者改变打分）总数。
接下来NN行，每行一个整数，依次给出小白 开始时对公园的打分。
接下来MM行，每行三个整数。第一个整数KK，11或22。K=1K=1表示，小新要带小白出去玩，接下来的两个整数aa和bb给出了选择公园的范围（1≤a,b≤N1≤a,b≤N）。测试数据可能会出现a>ba>b的情况，需要进行交换；K=2K=2表示，小白改变了对某个公园的打分，接下来的两个整数pp和ss，表示小白对第pp个公园的打分变成了ss（1≤p≤N1≤p≤N）。
其中，1≤N≤500 0001≤N≤500000，1≤M≤100 0001≤M≤100000，所有打分都是绝对值不超过10001000的整数。

输出格式：

小白每出去玩一次，都对应输出一行，只包含一个整数，表示小白可以选出的公园得分和的最大值。输入输出样例输入样例#1： 
5 3
1 2 -3 4 5
1 2 3
2 2 -1
1 2 3
输出样例#1： 
2
-1

题解

这道题是模板题，直接给出代码

using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=1e9+7,MAXN=5e5+10,MAXNODE=MAXN<<2,MAXM=1e5+10;
int N,M;
LL tmp[MAXN];
struct node{
	LL sum,maxl,maxr,maxv;
	node(){
		sum=maxl=maxr=maxv=0;
	}
}A[MAXNODE];
inline void push_up(int x){
	A[x].sum=A[x<<1].sum+A[x<<1|1].sum;
	A[x].maxl=max(A[x<<1].maxl,A[x<<1].sum+A[x<<1|1].maxl);
	A[x].maxv=max(A[x<<1].maxr+A[x<<1|1].maxl,max(A[x<<1].maxv,A[x<<1|1].maxv));
	A[x].maxr=max(A[x<<1|1].maxr,A[x<<1].maxr+A[x<<1|1].sum);
}
void init(int x,int l,int r){
	if(l==r){
		A[x].sum=A[x].maxl=A[x].maxr=A[x].maxv=tmp[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	init(x<<1,l,mid);
	init(x<<1|1,mid+1,r);
	push_up(x);
}
void update(int x,int l,int r,int q,LL c){
	if(l==r){
		if(l==q)
			A[x].sum=A[x].maxl=A[x].maxr=A[x].maxv=c;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(q<=mid)
		update(x<<1,l,mid,q,c);
	else
		update(x<<1|1,mid+1,r,q,c);
	push_up(x);
}
node query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
	if(ql<=l&&r<=qr){
		return A[x];
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(qr<=mid)
		return query(x<<1,l,mid,ql,qr);
	if(ql>mid)
		return query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
	node left=query(x<<1,l,mid,ql,qr),right=query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr),ret;
	ret.maxv=max(left.maxr+right.maxl,max(left.maxv,right.maxv));
	ret.maxl=max(left.maxl,left.sum+right.maxl);
	ret.maxr=max(right.maxr,left.maxr+right.sum);
	return ret;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&N,&M);
	for(int i=1;i<=N;i++)
		scanf("%lld",tmp+i);
	init(1,1,N);
	int ii,jj,kk;
	LL ll;
	for(int i=1;i<=M;i++){
		scanf("%d",&ii);
		if(ii==1){
			scanf("%d%d",&jj,&kk);
			if(jj>kk)
				swap(jj,kk);
			printf("%lld\n",query(1,1,N,jj,kk).maxv);
		}else{
			scanf("%d%lld",&jj,&ll);
			update(1,1,N,jj,ll);
		}
	}
	return 0;
}