线段树区间开方
概述
线段树是实用的数据结构，支持所有符合结合律的运算的区间操作。但开方不符合结合律，怎么用线段树维护呢？其实线段树本身无法支持，但还是有方法在有限时间内维护的，就是利用数在经历多次开方后会趋向于统一的性质优化运算。
数据结构
区间开方线段树的思想如上所示，就是利用开方运算的性质，在最初几组数据里暴力计算，后期根据连续统一的序列进行简便运算。对于两种常见的题目，有两种做法。
仅区间开方
我们可以发现任何数在经历过很少的几次开方后就会等于0，于是我们很容易想到将最初的几次操作暴力计算，并记录最大值。由于$10^18$在经历6次开方和向下取整之后就等于1了，所以暴力最多算$6N$次，复杂度为$\Theta(N)$。而在此之后，我们遇到最大值不超过1的区间就可以不进行运算了。（$\sqrt{1}=1 , \sqrt{0}=0$）
至于实现，比普通的线段树还要简单，不需要lazy_tag，只需要维护区间最大值和所需操作即可，在update函数里加一个特判就可以优化计算。
例题：Luogu P4145 上帝造题的七分钟2 / 花神游历各国
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int INF=1e9+7,MAXN=1e5+10,MAXNODE=MAXN*4; int N,M; LL tmp[MAXN],sum[MAXNODE],maxv[MAXNODE]; inline void push_up(int x){ sum[x]=sum[x<<1]+sum[x<<1|1]; maxv[x]=max(maxv[x<<1],maxv[x<<1|1]); } void init(int x,int l,int r){ if(l==r){ sum[x]=maxv[x]=tmp[l]; return; } int mid=(l+r)>>1; init(x<<1,l,mid); init(x<<1|1,mid+1,r); push_up(x); } LL query(int x,int l,int r,int ql,int qr){ if(ql<=l&&r<=qr) return sum[x]; int mid=(l+r)>>1; LL ret=0; if(ql<=mid) ret+=query(x<<1,l,mid,ql,qr); if(mid<qr) ret+=query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr); return ret; } void update(int x,int l,int r,int ql,int qr){ if(l==r){ maxv[x]=sqrt(maxv[x]); sum[x]=sqrt(sum[x]); return; } if(maxv[x]<=1) return; int mid=(l+r)>>1; if(ql<=mid&&maxv[x<<1]>1) update(x<<1,l,mid,ql,qr); if(mid<qr&&maxv[x<<1|1]>1) update(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr); push_up(x); } int main(){ scanf("%d",&N); for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%lld",tmp+i); init(1,1,N); scanf("%d",&M); for(int i=1,k,l,r;i<=M;i++){ scanf("%d%d%d",&k,&l,&r); if(l>r) swap(l,r); if(k) printf("%lld\n",query(1,1,N,l,r)); else update(1,1,N,l,r); } return 0; }
注意：支持其他操作的线段树不支持此问题，因为这里没有区间加，会出现许多的0，相等的区间就会非常少。
支持其它操作
开方和向下取整结合时，会有和|、&运算类似的使数据趋同的作用。所以我们只需要暴力执行前几次操作，对于后面的，只需要特判一段区间是否相等，如果相等则将区间和等指标直接开方，毕竟趋同是不可逆的。
例题：基础数据结构练习题：xiaowuga大佬的代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e5+7; long long a[N]; struct node{ int l,r; long long maxx,minn,sum; long long lazy; void up(long long val){ maxx+=val;minn+=val;sum+=(r-l+1)*1ll*val; lazy+=val; } }tree[8*N]; void push_up(int x){ tree[x].maxx=max(tree[x<<1].maxx,tree[x<<1|1].maxx); tree[x].minn=min(tree[x<<1].minn,tree[x<<1|1].minn); tree[x].sum=tree[x<<1].sum+tree[x<<1|1].sum; } void push_down(int x){ long long val=tree[x].lazy; if(val){ tree[x<<1].up(val); tree[x<<1|1].up(val); tree[x].lazy=0; } } void build(int x,int l,int r){ tree[x].l=l; tree[x].r=r; tree[x].lazy=tree[x].sum=0; if(l==r){ tree[x].minn=tree[x].maxx=tree[x].sum=a[l]; return; } int m=(l+r)/2; build(x<<1,l,m); build(x<<1|1,m+1,r); push_up(x); } void updata(int x,int l,int r,long long val){ int L=tree[x].l,R=tree[x].r; if(l<=L&&R<=r){ tree[x].up(val);return; } int m=(L+R)/2; push_down(x); if(l<=m) updata(x<<1,l,r,val); if(r>m) updata(x<<1|1,l,r,val); push_up(x); } void Sqrt(int x,int l,int r){ push_down(x); int L=tree[x].l,R=tree[x].r; if(l<=L&&R<=r){ if(tree[x].maxx==tree[x].minn){ long long t=(long long)sqrt(tree[x].maxx); updata(x,L,R,t-tree[x].maxx); return; } else if(tree[x].minn+1==tree[x].maxx){ long long t1=(long long)sqrt(tree[x].minn); long long t2=(long long)sqrt(tree[x].maxx); if(t1+1==t2){ updata(x,L,R,t2-tree[x].maxx); return; } } } int m=(L+R)/2; if(l<=m) Sqrt(x<<1,l,r); if(r>m) Sqrt(x<<1|1,l,r); push_up(x); } long long query(int x,int l,int r){ push_down(x); int L=tree[x].l,R=tree[x].r; if(l<=L&&R<=r){ return tree[x].sum; } int m=(L+R)/2; long long ans=0; if(l<=m) ans+=query(x<<1,l,r); if(r>m) ans+=query(x<<1|1,l,r); push_up(x); return ans; } int main(){ int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); build(1,1,n); while(m--){ int op,l,r; scanf("%d%d%d",&op,&l,&r); if(op==1){ long long val; scanf("%lld",&val); updata(1,l,r,val); } else if(op==2){ Sqrt(1,l,r); } else{ printf("%lld\n",query(1,l,r)); } } return 0; }
