三角形的五心
- 概述
- 三角形的五心包括重心、垂心、外心、内心和旁心，是解决三角形问题的一种工具，也是一种研究对象。
- 前置知识：三角形等积变换、轴对称、相似、圆
- 内容
-
重心
- 重心的概念
- 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部
如图，G为△ABC的重心
- 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部
- 重心的性质
- 基本性质
- 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍，即$\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2$
- 证明1
- 由共边定理得
- 由蝴蝶定理得
- 于是有
- 由共边定理得$\frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2$
- 同理可推得其他边的关系
- 由共边定理得
- 证明2
- 连接$DE$，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线$\frac{1}{2}$得$2$倍
- 连接$DE$，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线$\frac{1}{2}$得$2$倍
- 推论1
- 设$G$是$\triangle ABC$中一点，若$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，则$G$为$\triangle ABC$的重心
- 证明
- 由共边定理（燕尾模型）得$\frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=1$，即$G$为$\triangle ABC$中点
- 同理可证其他中点
- 证明
- 设$G$是$\triangle ABC$中一点，若$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，则$G$为$\triangle ABC$的重心
- 推论2
- $G$为$\triangle ABCD$的重心，若$AG^2+BG^2=CG^2$，则$AD ⊥ BE$
- 证明
- 倍长中线，得平行且$MG=CG，AG=BM$，所以$\angle MBG = 90^{\circ}$
- 证明
- $G$为$\triangle ABCD$的重心，若$AD ⊥ BE$，则$AG^2+BG^2=CG^2$
- 证明
- 由垂直得勾股关系，又由直角三角形斜边中线定理得$AB=CG$，即可得证
- 证明
- $G$为$\triangle ABCD$的重心，若$AG^2+BG^2=CG^2$，则$AD ⊥ BE$
- 推论3
- $G$为$\triangle ABC$中点，过$G$作$DE ∥BC$，$PF∥AC$，$KH∥AB$，则$frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}=\frac{2}{3}$
- 证明
- 连AG并延长至M交BC于M，则M为BC中点
- 由$DG∥CB$得$\frac{AD}{AB}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$
- 由相似得$frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}$
- 证明
- $G$为$\triangle ABC$中点，过$G$作$DE ∥BC$，$PF∥AC$，$KH∥AB$，则$frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}=\frac{2}{3}$
- 推论4
- G为边长为$a$的等边三角形ABC的中点，则$GA=GB=GC=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
- 证明
- 等边三角形四心合一点，得$△ABG$为$30°、30°、120°$型三角形，边之比为$1:1:\sqrt{3}$，故$GA=\frac{AB}{sqrt{3}}$
- 证明
- G为边长为$a$的等边三角形ABC的中点，则$GA=GB=GC=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
- 基本性质
- 重心的概念
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垂心
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外心
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内心
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旁心
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