相似三角形·中考

概述
1. 相似，主要是相似三角形，在中考中有举足轻重的地位，难度也较高，往往倒三题中至少有一题是圆和相似的结合
2. 相似常常和四边形、反比例函数、圆、二次函数等结合，十分灵活
比例性质
1. 概念
  1. 若$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则称$a,b,c,d$成比例，$a,d$称为比例外项，$b,c$称为比例内项，其中$a,b,c,d$分别是第一、二、三、四比例项
  2. 在$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，即$b^2=ac$中，称$b$为$a,c$的比例中项
  3. 若$a,b,c,d$是线段，只能取正，否则可正可负
2. 基本性质
  1. $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \leftrightarrow ad=bc$，由$ad=bc$可得①$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$②$\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$③$\displaystyle \frac{d}{b}=\frac{c}{a}$④$\displaystyle \frac{d}{c}=\frac{b}{a}$
  2. 根据性质，常利用设$k$法来求某代数式的值
3. 比例性质
  1. 基本性质：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc(bd\neq0)$
  2. 反比定理：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{b}{a}=\frac{d}{c}(abcd\neq0)$
  3. 更比定理：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d},\frac{d}{b}=\frac{c}{a}(abcd\neq0)$
  4. 合比定理：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
  5. 分比定理：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$
  6. 合分比定理：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$
  7. 等比定理：$\displaystyle \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdot\cdot\cdot=\frac{a_n}{a_n}=k(\Sigma^n_{i=1}b_i\neq0)\Rightarrow \frac{\Sigma_{i=1}^n{a_i}}{\Sigma_{i=1}^n{b_i}}=k(\Sigma^n_{i=1}b_i\neq0)$（思想：等比设$k$）
比例尺
1. 概念
  1. 比例尺=图距：实距面积之比=（缩放倍数）²
2. 结合三角函数考地理题（等高线地形图等等）
  1. 注意单位的转换
  2. 注意基准高度（基层的等高线）
黄金分割
1. 概念
  1. 定义
    1. C在AB上，分线段为AC，BC（AC>BC）若$\displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$（$\displaystyle \frac{长}{全}=\frac{短}{长}$，即$AC^2=AB\cdot BC$），则称AB被C黄金分割
    2. 任何线段都有两个黄金分割点
  2. 求黄金比：列方程即可
    1. 设AB=1，AC=x，由定义得$\displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$……
  3. 尺规作图：构造$\displaystyle \sqrt{5}$
    1. 注：图中只画了一个黄金分割点，另一个需要再用圆规截取
平行线间线段成比例
1. 若$l_1//l_2//l_3$，则$\displaystyle \frac{FB}{BC}=\frac{AE}{ED}=\frac{GH}{HM}$，$\displaystyle \frac{AE}{AD}=\frac{FB}{FC}=\frac{GH}{GM}$，$\displaystyle \frac{FB}{GH}=\frac{BC}{HM}=\frac{FC}{GM}$
2. 证明
4. 尺规作图
  1. 构造已知线段的比
    1. 现有长度为$a,b,1$的线段，求作长度为$\frac{a}{b}$的线段
相似三角形的概念、性质和判定
1. 概念：各角相等，各边成比例的三角形，对应边的比值叫做相似比。（可推广于任意边型）
2. 判定
  1. 内容
    1. 两角对应相等的三角形相似
    2. 两边对应成比例且夹角相等的三角形相似
    3. 三边对应成比例的三角形相似
  2. 格式
    1. $∵\angle E = \angle A ， \angle F = \angle C$
      $∴\triangle DEF ∽ \triangle BAC$
      1. 不需要写“在××中”，与全等不同
      2. 要注意严格的对应关系，在写条件的角和边的时候都要严格对应，与全等相同（我被扣了一年的分）
    2. $\displaystyle ∵\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF} , \angle C=\angle F$
      $∴\triangle ABC ∽ \triangle DEF$
  3. 解题
    1. 斜边和一条直角边对应成比例的2个直角三角形相似（不可用）
      1. 在说明直角三角形时，不仅要说明直角，还要写$Rt \triangle$，且最后在写答案时一定要体现$Rt$
        
        勾股定理中，要写$Rt \triangle 中 \angle = 90^{\circ}$
        
        在$HL$中，要写$在Rt \triangle ABC 和 Rt \triangle DEF中，\angle ABC=\angle DEF =90^{\circ}$
    2. 注意对应边成比例，一个比例的分子和分母必须分在两个三角形中
3. 性质
  1. 内容
    1. 对应角相等
    2. 对应边成比例
    3. 周长比=对应高，角平分线的比=相似比
      1. 2,3两条总结为“对应线段成比例”
    4. 面积=相似比²
  2. 格式
    1. $∵\triangle ABC ∽ \triangle DEF$
      $\displaystyle ∴\angle ABC = \angle DEF , \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$（严格的对应关系）
基本模型
1. “A”型
  1. 要求：平行且同侧（可以由平行直接得）
  2. 考题往往和面积与边长相关，这种相似三角形有明显的比例关系，两个三角形一般会有重合部分，可以对关键线段设未知数求解；
2. 斜“A”型
  1. 要求：有一个公共角和一个等角
    1. 仅共角，有$\displaystyle \triangle ADE ∽ \triangle ACB \Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
    2. 共角共边，有$\displaystyle \triangle ADC ∽ \triangle ACB \Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB} \Rightarrow AC^2=AD·AB$
3. “8”字形
  1. 由$DE//BC$或$\angle B=\angle D$得到$\displaystyle \triangle ADE=\triangle ABC\Rightarrow \frac{AD}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
4. 旋转型相似
  1. 边成比例+夹角相等
  2. 注意：旋转型相似不会直接给出，常常隐含在其他的旋转关系中
5. “k”型相似（一线三等角）
  1. 显然有$\triangle BDE ∽△CEF$
  2. 特别地，在$BE=EC$使，有$△BDE∽△EDF∽△CEF$
6. 垂直型相似
  1. 射影定理
  2. 三直角模型，属于三等角，比例关系显而易见
实际问题
1. 主要是物理题，没什么难度