质点运动学

1. 概述
   1. 我们忽略物体的大小和形状，只考虑它的运动情况，这就是质点运动学。本章将讨论和物体的运动相关的知识，包括运动、速度和加速度的一些概念。

2. 质点、参考系和坐标系、时间

   1. 质点
      1. 定义：忽略物体的大小和形状，把物体简化为一个有质量的物质点，叫质点
      2. 把物体看做质点的条件：
         1. 物体的大小和形状对研究问题的影响可以忽略
         2. 物体在平动（物体内任意两点的运动状态相同）
   2. 参考系和坐标系
      1. 参考系=参照物+坐标系
      2. 坐标系
         1. 直线坐标系
         2. 平面坐标系（仍然只描述物体的位置，要和时间轴分开）
   3. 时刻和时间间隔
      1. 时间轴
         1. 在上面描点以表示时间，和直线坐标系分开
      2. 时刻
         1. 描述点（十二点下课）
      3. 时间间隔
         1. 描述过程（跑步花了五分钟）

3. 质点运动的位移、路程、速度、加速度

   1. 位移和路程
      1. 位移：描述物体位置的变化，用从初位置指向末位置的有向线段表示，是矢量
      2. 路程：是物体运动轨迹的长度，是标量
   2. 速度
      1. 平均速度：在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值，即$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$，是矢量
      2. 瞬时速度：运动物体在某一时刻（或某一位置）的速度，当$\Delta t→0$时，$\overline{v}$的极限为即时速度$v$，$v=\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}$。
   3. 速率：瞬时速度的大小，是标量（即初中讨论的“速度”）
   4. 加速度：描述速度变化的方向和快侵，速度的变化$\Delta v$和这一变化所用的时间$\Delta t$的比值$\frac{\Delta v}{\Delta t}$叫做这段时间的平均加速度，记作$\overline{a}$，当$\Delta t→0$时，$\overline{a}$的极限叫即时加速度$a$，$a = \displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}$

4. 矢量的合成与分解

   1. 完全同向量的运算
   2. 矢量的合成：矢量是有向线段，常用带箭头的字母或黑体字表示，适用的加法有平行四边形（定）法则和三角形（定）法则
      1. 平行四边形法则：用表示这两个矢量的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合矢量的大小和方向
      2. 三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法
   3. 矢量的正交分解

5. 相对运动

   1. 运动的合成与分解，运动的独立性原理
      1. 时间上的同一性
      2. 合运动为实际运动
   2. 速度合成定理
   3. 物系关联速度：杆或绳约束物系各点速度相关特征：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度；如果感（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相等

6. 匀变速直线运动概念

   1. 定义：沿着一条直线且加速度不变的运动
   2. 分类
      1. 匀加速直线运动，$a$与$v_0$方向相同.
      2. 匀减速直线运动，$a$与$v_0$方向相反
         1. 反向加速运动仍然是减速运动
      3. 注意
         1. 此处不包括匀速直线运动，$a\neq 0$
         2. 负速度可以是反向正速度或正向负速度
         3. 解题时注意永远是末速度减去初速度！
   3. 匀变速直线运动基本规律
      1. 三个基本公式
         1. 速度公式：$v=v_0+at$
         2. 位移公式：$\displaystyle x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$
         3. 位移速度关系式：$v_2-v_0^2=2ax$
      2. 两个重要推论
         1. 平均速度公式$\displaystyle v=\frac{x}{t}=v\frac{t}{2}=\frac{v_0+v}{2}$
         2. 中间位移速度公式$\displaystyle v_{\frac{s}{2}}=\sqrt{\frac{v_0^2+v_t^2}{2}}$
            1. 匀变速直线运动中，当速度为正时，$\displaystyle v_{\frac{s}{2}}$严格大于$\displaystyle v{\frac{t}{2}}$
         3. 任意两个连续相等的时间间隔$T$内的位移之差为一恒量，即$\displaystyle \Delta x=aT^2$

7. 匀变速直线运动的图象

   1. $x-t$图象
      1. 物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律
      2. 斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向
   2. $v-t$图象
      1. 物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律
      2. 斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体在该点加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向
      3. "面积"的意义
         1. 图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移的大小
         2. 若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正：若此面积在时间轴的下方，表示位移方向为负

8. 初速度为零的匀变速直线运动的等时和等位移划分四个推论

   1. $T$末、$2T$末、$3T$末，…瞬时速度的比为：$\displaystyle v_1：v_2：v_3：…：v_n=1：2：3：…：n$
      1. $x末，2x末，3x末，…，nx末$瞬时速度之比(基于$v^2=as$)：$\displaystyle 1：\sqrt{2}：\sqrt{3}：……：\sqrt{n}$
         1. $\displaystyle v_x=\sqrt{2ax}，v_{2x}=\sqrt{2a\cdot 2x}，…，v_{nx}=\sqrt{2a\cdot nx}$
   2. $T$内、$2T$内、$3T$内…位移的比为：$\displaystyle x_1：x_2：x_3：…：x_n=1^2：2^2：3^2：…：n^2$
   3. 第一个$T$内、第二个$T$内、第三个$T$内……位移的比为：$\displaystyle x_1：x_2：x_3：…：x_n = 1：3：5：…：(2n-1)$
   4. 从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为$\displaystyle t_1：t_2：t_3：…：t_n=1：(\sqrt{2}-1)：(\sqrt{3}-\sqrt{2})：…$
      1. $\displaystyle x，2x，3x，…，nx$所用时间之比(基于$\displaystyle s=\frac{1}{2} at^2$)：$\displaystyle 1：\sqrt{2}：\sqrt{3}：……：\sqrt{n}$
         1. $\displaystyle t_x=\sqrt{\frac{2x}{a}}，t_{2x}=\sqrt{\frac{2(2x)}{a}}，t_{nx}=\sqrt{\frac{2(nx)}{a}}$

9. 自由落体和竖直上抛运动规律一加速度为$g$的匀变速直线运动

   1. $g$
      1. 重力常数：单位$\displaystyle N/kg$
      2. 重力加速度：单位$\displaystyle m/s^2$
      3. 统一
         1. 由牛顿第二定律得$\displaystyle N=kg\cdot t/m^2$
         2. $∴\displaystyle N/kg=m/s^2$
   2. 两种方法
      1. "分段法"就是把竖直上抛运动分为上升阶段和下降阶段，上升阶段物体做匀减速直线运动，下降阶段物体做自由落体运动，下落过程是上升过程的逆过程
      2. "全程法"就是把整个过程看成是一个匀减速运动过程。从全程来看，加速度的方向始终与初速度$v_0$的方向相反。
   3. 巧用竖直上抛运动的对称性速度对称：（相同加速度的往返运动的特点）
      1. 速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大反向
      2. 时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等