一元二次方程·中考

一元二次方程

1. 概述
   1. 一元二次方程在中考中的要求不高，只要会找出含参方程的隐含条件，会解决特殊根问题即可。解题的关键是各种限制条件，包括
      1. 当二次项系数含参时，要特判0的情况
      2. 公式法要先求$\Delta$，和0比较
      3. 使用韦达定理时需要代回方程检验
      4. 实际问题要检验根
2. 易错点

   1. 概念

      1. 要求：①一个未知数②最高二次③整式方程（整式方程看化简后的次数，分式或根式看化简前的次数）
      2. 根据方程次数求参数值
         1. 关于$x$的方程$\displaystyle (m+1)x^{m^2+1}+(m-3)x-1=0$是一元一次方程，则$m=$  $0或-1$  
            1. 对于不定次项，要考虑不存在（系数为0）和1次或0次的情况

   2. 解方程

      1. 注意
         1. 千万不能写方程无解，二次方程只可能无实根
         2. 方程的两个解必须写在一行（换行的“，”不能表示或的关系）
      2. 直接开平方法
         1. $(3x-5)^2=a$
            1. 当$a<0$时，方程无实根
            2. 当$a=0$时，$3x-5=0$（一定要单独考虑0的情况，算出来的结果和开方的不同）
               $\displaystyle x_1=x_2=\frac{5}{3}$（化成一次方程依然有两个解）
            3. 当$a>0$时，…………
      3. 配方法
         1. 求代数式$-3x^2+6x-5$的最值（如何说明最值）
            1. 原式$=-3(x^2-2x)-5$
               $=-3(x^2-2x+1)-2$
               $=-3(x-1)^2-2$
            2. $∵-3(x-1)^2\leq 0$
               $∴-3(x-1)^2-2\leq -2$
               $∴原式的最大值为-2$
         2. 配方说明$\neq0$
            1. 先证明一定$>0$或$<0$，再另起一行说$\neq0$
      4. 公式法
         1. 求根公式
            1. 当$b^2-4ac\geq0$时，$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2}$
               当$b^2-4ac<0$时，方程无实根
         2. 解方程时可以先将$x$连等成$\displaystyle \frac{b\pm \sqrt{c}}{a}$的形式，再分裂，不用做更多的化简
      5. 整体法
         1. 已知$x^2+xy-y^2=0$，求$\displaystyle \frac{x}{y}(y\neq0)$
            1. 将$\displaystyle \frac{x}{y}$看作整体
               $\displaystyle \frac{x^2}{y^2}+\frac{x}{y}-1=0$
               $\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
            2. 将$y$看作参数暴算
               $\displaystyle x=\frac{-y\pm\sqrt{5}y}{2}$
               $\displaystyle ∴\frac{x}{y}=\frac{-1+\sqrt{5}}{x}$
         2. 使用整体法（但题目没有限制定义域）之后，要代回检验
            已知$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=0$，求$x+\frac{1}{x}$的值
            1. $\displaystyle (x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-2=0$
               $\displaystyle x+\frac{1}{x}=……=\frac{-1\pm3}{2}$
            2. 当$\displaystyle x+\frac{1}{x}=-2$时，……
               $x_1=x_2=-1$
               当$\displaystyle x+\frac{1}{x}=1$时，……
               $b^2-4ac=(-1)^2-4<0$无实根，舍去
            3. 综上，……
         3. $x^2-|x|-2=0$
            1. $|x|^2-|x|-2=0$
               $(|x|-2)(|x|+1)=0$
            2. $|x|取2$
               $x_1=2,x_2=-2$

   3. 根的判别式

      1. 内容
         1. 令$\Delta=b^2-4ac$，对于$ax^2+bx+c=0$
            $$\displaystyle \begin{cases} a\neq0 \begin{cases} \Delta>0 & \text{两相异实根} \\ \Delta=0 & \text{两相等实根} \\ \Delta<0 &\text{无实根} \end{cases} \\ a=0 \begin{cases} b\neq 0 &\text{一解} \\ b=0 &\text{c=0无数解，c≠0无解} \end {cases} \end{cases}$$
      2. 题目条件的表述
         1. 关于$x$的一次方程$kx^2-\sqrt{2k+1}+1=0$有$2$相异实根，求$k$的范围
            1. 由题意得$\displaystyle \begin{cases} k\neq0 \\ sk-1-4k>0 \\ 2k+1\geq0 \end{cases}$
               解得……

   4. 韦达定理

      1. 内容
         1. 对$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$，在$b^2-4ac\geq0$时，有$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a} , x_1x_2=\frac{c}{a}$
      2. 当方程中有字母系数时，要判根，全是数字系数就不用

   5. “是根”（××是××的根）

      1. 代入法
      2. 整体法
         1. 用大除法把已知代数式给除掉（然后替换成常量$\times$另一个代数式）
         2. 将含有字母的部分因式分解，转化为已知式的积或含有为0的式子的积（有一定的思维难度）
      3. 韦达定理
         1. 前提：齐次（不齐次要先降次）

   6. 应用

      1. 根据题干列方程
         1. 所有数字都从题干中来
      2. 注意实际情况，一定要代回，注意题干的隐含条件（“最简二次根式”，一定要检验最简）
      3. 销售问题
         1. 计算量很大，有一定的难度
         2. 注意题干中说明的目的“为了尽快减少库存”“为了使客户得到实惠”