高斯的数学

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高斯的数学

高斯在哥廷根大学就读时期曾求得过一个很著名的结果

但是绝大部分人不知道这个结果，更不知道求解过程，只是听说过高斯证明了正十七边形可以用尺规作图作出来，解决了这个连阿基米德和牛顿都没证明出来的，已经存在有两千多年的数学难题的故事。（后世数学届相对比较公认的把阿基米德、牛顿、欧拉、高斯并称为数学史上四大数学家，而当时正读大学的高斯，虽然因为天赋异禀小有名气，但与前面这几个名字还是望尘莫及）

高斯的思路其实很简单，要画正十七边形只需求出cos(2π/17）的值，如果能求出来，再验证其是否满足尺规作图能做出来的条件，也就证明了这个难题。而这个难题，最大难点就在于如何求出cos(2π/17）的值。

下面就是当年19岁的数学王子这个名垂千古的求解过程。大家不妨自行体会一下:）

以上。

先把 数学王子 的画像搬出来！

高斯（1777~1855）

要想知道高斯到底有多厉害，那就得了解下面这些关于高斯的故事和事实.

1. 高斯在 3 岁时便能够纠正他父亲的账目中的错误.

2. 高斯在 9 岁上小学的时候，有一天老师故意布置了一道为难学生的数学题

$~~~~~~~~~~~~1+2+3+\cdot\cdot\cdot+100=~?$

没想到高斯一下子就给出了正确答案，是 $5050$ . 而且还解释了解答方法，那就是首尾相加，而现在 等差数列 的求和公式

$~~~~~~a_{1}+a_{2}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}.$

就是用高斯的这种方法推导出来的.

3. 高斯在 11 岁时独立推导出了牛顿的 二项式定理

$~~~~~~~~~~~~(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}} a^{n-k}b^{k}.$

4. 高斯在 14 岁的时候研究了下述数列：

设 $a\geq b>0$ ， $a_{0}=a$ ， $b_{0}=b$ . 如下递推地定义数列 $\left\{ a_{n} \right\},\left\{ b_{n} \right\}$ ：

$~~~a_{n}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},~b_{n}=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}.$

高斯证明数列了 $\left\{ a_{n} \right\}$ ， $\left\{ b_{n} \right\}$ 皆收敛，且极限相等，此极限称为 $a$ 和 $b$ 的 算术几何平均值，记作 $AGM(a,b)$ . 高斯还给出了 $AGM(a,b)$ 的表达式：

$AGM(a,b)=\frac{\pi}{2G},~G=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sqrt{a^{2}{\cos}^{2}x+b^{2}{\sin}^{2}x}}.$

1976 年，数学家 Salamin 和 Brent 等人在此基础上发展出了一种计算圆周率 $\pi$ 的快速算法，这种算法就是目前计算圆周率最快的算法之一的 Salamin-Brent 算法：

取 $a=1$ ， $b=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . 则

$~~~~~~\pi=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{(a_{n}+b_{n})^{2}}{1-2\sum_{k=1}^{n}{2^{n}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})}}}.$

5. 1792 年，这一年高斯 15 岁. 有一天高斯偶然得到一本书，书上有一个对数表，还有一个素数表. 由于闲来无事，高斯花了将近一刻钟的时间计算了其中 $1000$ 个，他惊讶地发现素数的分布密度接近于对数的倒数，这一发现就是就是著名的 素数定理：

$~~\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{\pi(x)}{Li(x)}}=1,~~Li(x)=\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log t}.$

素数定理的数值结果

6. 1796 年，高斯 19 岁，这一年是高斯的高光时刻！

3 月 30 日：高斯证明了正十七边形可以尺规作图. 证明正十七边形可以尺规作图的关键是证明 $\cos\frac{2\pi}{17}$ 可以用根式表达出来，高斯经过一顿巧算得到

$\cos\frac{2\pi}{17}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\sqrt{17}+\frac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{1}{8}\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}.$

正十七边形尺规作图

正十七边形的尺规作图问题是一个千古难题，对于这一问题的解决高斯颇为得意，据说高斯因此决定在数学和文学之间选择将数学作为自己的终身事业，而把文学当做兴趣爱好，他还嘱咐后人将正十七边形刻在自己的墓碑上.

高斯墓碑上的正十七角星

单单证明正十七边形可以尺规作图还不过瘾，高斯干脆一口气把正多边形的尺规作图问题一锅端了，即得到下述结论：

高斯定理：正 $n$ 形边可以尺规作图当且仅当 $n=2^kF_{m_{1}}F_{m_{2}}\cdot\cdot\cdot F_{m_{l}}$ ，其中 $k,l\geq0$ ，而 $F_{m_{1}}$ ， $F_{m_{2}}$ ， $\cdot\cdot\cdot$ ， $F_{m_{l}}$ 为两两不同的 费马素数.

可以尺规作图的正多边形

4 月 8 日：高斯证明了自己奉之为瑰宝的 二次互反律：

$~~~~~~~~~~\left( \frac{p}{q} \right)\cdot\left ( \frac{q}{p} \right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}.$

高斯对二次互反律钟爱有加，前后一共给出过 $6$ 种不同的证法，每一种证法都包含了重要的数学思想. 后来他又发现了 四次互反律：

$~~~~~~~\chi_{\pi}(\lambda)=\chi_{\lambda}(\pi)\cdot(-1)^{\frac{N(\pi)-1}{4}\cdot\frac{N(\lambda)-1}{4}}.$

从二次互反律开始，然后发展到三次互反律和四次互反律，后面继续推广到 艾森斯坦互反律，最后拓广到称之为 类域论 理论高峰的 阿廷互反律. 由此可知二次互反律的重要性，高斯对之爱不释手也就不难理解了.

7月 10 日：高斯证明了下述结论：

高斯定理：每一个正整数都可以表示为不超过 $3$ 个三角数之和.

比如我们观察前面几个正整数：

$1=1，2=1+1，3=3=1+1+1，$

$4=1+3，5=1+1+3，6=6=3+3，$

$7=1+3+3，8=1+1+6，9=3+6，$

$10=10=1+3+6，11=1+10，\cdot\cdot\cdot$

高斯的这一重要结论和下面这些著名的定理紧密相关：

拉格朗日四平方和定理：每一个正整数都可以表示为不超过 $4$ 个平方数之和.

费马定理：当 $n\geq3$ 时，每一个正整数都可以表示为不超过 $n$ 个 $n$ 角数之和.

n 角数

10月 1 日：高斯得到了关于有限域系数的方程的解的个数的结果，即下述问题：

考虑有限域 $F_{p}$ 上的方程 $x^3+y^3=1$ ，此方程只有有限个解，我们将其解的个数记为 $N(x^3+y^3=1)$ . 那 $N(x^3+y^3=1)$ 的值是多少呢？高斯给出了下述答案：

高斯定理：设 $p$ 为素数，则

(1). 当 $p\equiv 1~ (mod~3)$ 时，

$~~~~~~~~~N(x^3+y^3=1)=p-2+A.$

其中，整数 $A$ 满足 $A\equiv 1~ (mod~3)$ ，且 $4p=A^2+27B^2$ .

(2). 当 $p\equiv 2~ (mod~3)$ 时，

$~~~~~~~~~~~~~~~~~N(x^3+y^3=1)=p.$

如当 $p=61$ 时，显然有 $4\cdot61=1^2+27\cdot3^2$ ，从而

$~~~~~~N(x^3+y^3=1)=61-2+1=60.$

而当 $p=67$ 时，显然有 $4\cdot61=(-5)^2+27\cdot3^2$ ，从而

$~~~~~~N(x^3+y^3=1)=67-2-5=60.$

高斯的上述结果对后世影响极大，数学家韦依据此提出了对于 20 世纪的代数几何造成重大影响的 韦依猜想.

7. 1799 年，高斯 22 岁，他在这一年完成了博士论文，在其博士论文里高斯第一个给出了下述重要定理的证明：

代数学基本定理：复系数多项式方程

$a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{n-1}x+a_{n}=0$

必有根. 其中 $n\geq1$ ， $a_{0}\ne0$ .

在高斯的博士论文中，他并未具体构造出多项式方程的解，而是一种纯粹的存在性证明. 高斯前后一共给出过代数学基本定理的四个证明，其中最后一个是在 1849 年给出的，是为了庆祝他获得博士学位 50 周年，此时高斯已 72 岁高龄.

8. 1801 年，高斯 24 岁，在这一年高斯的数论专著《算术研究》问世，这是一部划时代的著作. 在书中高斯对前人在数论中的一些杰出而又零散的成果予以系统地整理并加以推广，还给出了标准化的记号，把研究的问题和解决这些问题的方法进行了分类，还引进了新的方法，这部著作奠定了近代数论的基础. 现如今的印度数学家 Bhargava 就是研究了高斯的《算术研究》后获得启发做出了一些开创性的工作，从而获得了 2014 年的 菲尔兹奖，由此可见高斯的这部著作的深刻性和重要性.

高斯的《算术研究》

9. 1807 年，高斯 30 岁，在这一年高斯被任命为 哥廷根大学 的天文学教授和天文台台长. 1809 年，高斯的天文学专著《天体运动理论》出版，书中包含了高斯发明的 最小二乘法，高斯在 1801 年用这一方法计算出了小行星 谷神星 的运动轨道. 高斯在小行星 智神星 的轨道计算方面也获得了类似的成功，此后小行星和行星被接二连三地发现，这时的高斯声名远播，荣誉滚滚而来. 高斯在《天体运动理论》中叙述的方法今天仍在使用.

天文台台长高斯

10. 1812 年，高斯 35 岁，这一年他研究了 超几何函数，并且把研究成果写成了专题论文，呈献给皇家科学院. 所谓的超几何函数是下述无穷级数：

$F(\alpha,\beta;\gamma;z)=1+\frac{\alpha\beta}{\gamma\cdot1}z+\frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{\gamma(\gamma+1)\cdot1\cdot2}z^2$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\beta(\beta+1)(\beta+2)}{\gamma(\gamma+1)(\gamma+2)\cdot1\cdot2\cdot3}z^3+\cdot\cdot\cdot$

超几何函数是下述 超几何方程 的解.

$z(1-z)\frac{d^2u}{du^2}+[\gamma-(\alpha+\beta+1)z]\frac{du}{du}-\alpha\beta u=0.$

超几何函数是很广的一类函数，很多我们常见的函数都可以由其表示出来：

$(1+z)^n=F(-n,\beta;\beta;-z).$

$\frac{1}{1-z}=F\left( \frac{1}{2},1;2;4z(1-z)\right).$

$\log(1+z)=zF(1,1;2;-z).$

$\log\frac{1+z}{1-z}=2zF\left( \frac{1}{2},1;\frac{3}{2};z^2 \right).$

$\arcsin z=zF\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^2 \right).$

$\arctan z=zF\left( \frac{1}{2},1;\frac{3}{2};-z^2 \right).$

$\cos(n\arcsin z)=F\left( \frac{n}{2},-\frac{n}{2};\frac{1}{2};z^2 \right).$

$e^z=\lim_{n \rightarrow \infty}{F(1,n;1;\frac{z}{n})}.$

现在，超几何函数已经被推广到了所谓的 广义超几何函数：

${}_p\!F_{q}(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdot\cdot\cdot\alpha_{p};\beta_{1},\beta_{2},\cdot\cdot\cdot,\beta_{n};z)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(\alpha_{1})_{k}(\alpha_{2})_{k}\cdot\cdot\cdot(\alpha_{p})_{k}}{(\beta_{1})_{k}(\beta_{2})_{k}\cdot\cdot\cdot(\beta_{p})_{k}}}\cdot\frac{z^k}{k!}.$

此时超几何函数可以表达为

$~~~~~~~~~~F(\alpha,\beta;\gamma;z)={}_2\!F_{1}(\alpha,\beta;\gamma;z).$

11. 1827 年，高斯 50 岁，这一年他发表了论文《关于一般曲面的研究》，这篇论文对微分几何做出了划时代的贡献，我们现在大学学的古典微分几何课程里面的理论框架就是由高斯的这篇论文建立的. 空间中的曲面有 第一基本形式 和 第二基本形式，即

$~~~~~~~~I=E(du)^2+2Fdudv+G(dv)^2,$

$~~~~~~II=L(du)^2+2Mdudv+N(dv)^2,$

它们分别描述了曲面的度量和其在空间中的形状. 曲面上每一点有所谓的主曲率 $\kappa_{1}$ 和 $\kappa_{2}$ ，我们称 $K=\kappa_{1}\kappa_{2}$ 为 高斯曲率，其表达式为

$~~~~~~~~~~~~K=\kappa_{1}\kappa_{2}=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}.$

从表达式上看好像高斯曲率与第一基本形式和第二基本形式都有关系，但高斯通过计算发现第一基本形式和第二基本形式其实是有关系的，以致高斯曲率最终可以表达成下面这个样子

$K=\frac{1}{(EG-F^2)^2}\left( \begin{vmatrix} -\frac{G_{uu}}{2}+F_{uv}-\frac{E_{vv}}{2} & \frac{E_{u}}{2}& F_{u}-\frac{E_{v}}{2}\\ F_{v}-\frac{G_{u}}{2} & E& F\\ \frac{G_{v}}{2} & F&G \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} 0 & \frac{E_{v}}{2}& \frac{G_{u}}{2}\\ \frac{E_{v}}{2} & E& F\\ \frac{G_{u}}{2} & F&G \end{vmatrix}\right).$

也就是说高斯曲率其实只和第一基本形式有关，这一重要结论就是所谓的 高斯绝妙定理. 高斯绝妙定理是微分几何发展过程中的里程碑，高斯的这一发现开创了微分几何的一个新纪元. 正是因为高斯的这一发现，使得我们能够研究一张抽象曲的仅具有第一基本形式的曲面，专门研究曲面上由它的第一基本形式所决定的几何学称为 内蕴几何. 后来，黎曼继承并发扬了高斯的这一思想，提出了高维的内蕴微分几何学的概念，即大名鼎鼎的 黎曼几何.

在微分几何方面，高斯还留下了著名的 Gauss-Bonnet 公式：

$~~~\oint_{C}\kappa_{g}ds+\int\int_{D}Kd\sigma=2\pi-\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}}.$

特别地，当 $\kappa_{g}=0$ 时，也就是 $C$ 为测地线时，Gauss-Bonnet 公式变成

$~~~~~~~~~~~~~\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}}=2\pi-\int\int_{D}Kd\sigma.$

若记 $\beta_{i}$ 为测地三角形 $C$ 的内角，即 $\beta_{i}=\pi-\alpha_{i}$ ，则上式等价于

$~~~~~~~~~\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}=\pi+\int\int_{D}Kd\sigma.$

由此可见，测地三角形的内角和一般不再等于 $\pi$ ，它与 $\pi$ 之差恰好为曲面的高斯曲率 $K$ 在测地三角形所围成的区域上的积分，因此欧式平面几何学与一般的曲面上的几何学的本质差别就在于空间本身的弯曲性质不同，这是 欧式几何 与 非欧几何 的根本区别.

非欧几何

由 Gauss-Bonnet 公式还可以推出重要的 Gauss-Bonnet 定理：

$~~~~~~~~~~~~~~~~\int\int_{D}Kd\sigma=2\pi\chi(S).$

这是一个十分重要且漂亮的定理，它把微分几何的不变量（高斯曲率 $K$ ）与拓扑学的不变量（欧拉示性数 $\chi(S)$ ）联系了起来，它在高维情形的推广就是著名的 Gauss-Bonnet-Chern 定理.

总高斯曲率由亏格决定

12. 1833 年，高斯 56 岁，这一年他从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以 伏特电池 为电源，构造出了世界上 第一台电报机.

13. 高斯猜想

设 $d\in \mathbb{Z}$ 无平方因子，则域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 为 二次数域，当 $d>0$ 时称 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 为 实二次数域，当 $d<0$ 时称 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 为 虚二次数域.

高斯经过计算发现，当

$d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163$

时， $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的类数为 $1$ ，但对于是否还有其他类数为 $1$ 的虚二次数域一直无法做出回答. 这个问题直到 1966 年才由数学家 Baker 和 Stark 解决，那就是类数为 $1$ 的虚二次数域只有高斯给出的那 $9$ 个，Baker 和 Stark 由于此项工作而获得了菲尔兹奖.

对于虚二次数域高斯进一步猜测：具有任意给定类数 $h$ 的虚二次数域的个数 $G(h)$ 是有限的. 1971 年，Baker 和 Stark 证明了 $G(2)=18$ . 到 1983 年，Goldfeld，Gross 和 Zagier 最终证实了高斯的猜测.

对于实二次数域，高斯还有一个猜测：

高斯猜想：有无限个 $d>0$ ，使得 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的类数为 $1$ .

现如今，虽然对于高斯的这一猜想已有许多结果，但猜想远未完全得到解决.

14. 正态分布

高斯在研究测量误差时得到了所谓的 正态分布 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ ，这是概率论与数论统计学中最重要的分布. 因此现在我们也把正态分布的密度函数

$~~~~~~~~~~~~~~~f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

称为 高斯函数. 现今德国 20 马克的硬币上就印有正态分布的密度函数的图像，以向世人传达高斯在这方面的杰出贡献.

德国 20 马克的硬币

15. 双纽线周率

高斯考虑了跟 $\pi$ 类似的常数 $\varpi$ ！我们都知道圆周率 $\pi$ 是圆的周长与直径的比，其实数学中还有下面这种曲线：

$~~~~~(x^2+y^2)^{2}=a^2(x^2-y^2)~~(a>0).$

这种曲线称为半径为 $a$ 的 Bernoulli 双纽线，简称为 双纽线.

Bernoulli 双纽线

高斯考虑了 双纽线 的周长与直径的比. 不难知道 双纽线 在极坐标下的方程为 $r^2=a^2\cos2\theta$ ，现以极径 $r$ 为参数，可得 双纽线 的周长为

$L=4\int_{0}^{a}\sqrt{1+r^2(\frac{d\theta}{dr})^2}~dr=4\int_{0}^{a}\frac{a^2}{\sqrt{a^4-r^4}}dr$

$~~~=4a\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}dx=a\int_{0}^{1}u^{-\frac{3}{4}}(1-u)^{-\frac{1}{2}}du$

$~~~=a\cdot B\left( \frac{1}{4} , \frac{1}{2}\right)=a\cdot\frac{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma\left( \frac{3}{4}\right)}=a\cdot\frac{{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)}^2\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right) \Gamma\left( \frac{3}{4}\right)}$

$~~~=a\cdot\sqrt{\pi}\cdot{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)}^2\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{4}}{\pi}=\frac{a}{\sqrt{2\pi}}\cdot{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)}^2.$

从而 双纽线 的周长与直径的比为

$~~~~~~~~~~~~~~\frac{L}{2a}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\cdot{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)}^2.$

由此可知 双纽线 的周长与直径的比为一个常数，现在我们称这个常数为 双纽线周率，记为 $\varpi$ . 由上面的推导可知

$\varpi=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\cdot{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)}^2\approx2.6220575542921198\cdot\cdot\cdot$

由定义可知 $\pi$ 和 $\varpi$ 长的像两兄弟，不仅如此，它们还有类似的积分表达式

$\pi=2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}~dx,~~\varpi=2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}~dx.$

更有意思的是 $\varpi$ 还与下面这些级数有关系.

$~~~\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^3}{e^{2\pi n}-1}}=\frac{1}{80}{\left( \frac{\varpi}{\pi} \right)}^{4}-\frac{1}{240},$

$~~~\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(e^{2\pi n}-1)}}=-\frac{\pi}{12}-\frac{1}{2}\log\left( \frac{\varpi}{\sqrt{2}\pi} \right),$

$~~~\prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{-2\pi n})^{24}=e^{2\pi}{\left(\frac{\varpi}{\sqrt{2}\pi} \right)}^{12}.$

16. 高斯引理

高斯引理（代数）：本原多项式的乘积仍为本原多项式.

高斯引理（数论）： $\left( \frac{a}{p} \right)=(-1)^\mu$ .

高斯引理（几何）：从点 $p$ 出发的测地线与以点 $p$ 为中心的测地圆是彼此正交的.

微分几何中的高斯引理

17. 高斯公式

高斯在研究电磁学的时候得到了我们现在大学数学课本中都能够看的 高斯公式：

$\int_{\partial D}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\int_{D}\left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right)dxdydz.$