因子分析中成分矩阵、旋转成分矩阵和成分得分系数矩阵的区别

在讲这三个矩阵之前，先来铺垫“什么是因子分析？”

这里有个大佬讲的通俗易懂：https://www.zhihu.com/question/40981105

了解完因子分析之后，我们开始进入这篇博客的正题。

 

一. 成分矩阵

1. 定义：成分矩阵又叫“因子载荷/负荷量矩阵”。因子载荷矩阵是各个原始变量的因子表达式的系数，表达提取的公因子对原始变量的影响程度。简单说，通过因子载荷矩阵可以得到原始指标变量的线性组合，如X1=a11*F1+a12*F2+a13*F3,其中X1为指标变量1，a11、a12、a13分别为与变量X1在同一行的因子载荷，F1、F2、F3分别为提取的公因子。

2. 旋转成分矩阵

1) 适用范围：通过观察因子载荷系数值，可以分析出每个因子与变量的对应关系情况，针对不合理的变量进行删除，这个过程可能会重复很多次，直至所有变量与因子对应关系与预期基本吻合。

注意：判断该变量存在的是否合理，不是看“成分矩阵”表，是看“旋转成分矩阵”表，表中的一行是一个变量在不同因子上的载荷，如果这些载荷都小于0.4（建议值），则考虑删除或修改这个变量。只要大于0.4，我们就可以认为该变量与这个成分有对应关系了。

2）举例：

 

 

 假设通过观察上图“旋转后的成分矩阵”发现所有变量在自己所在行中的载荷值都存在至少有1个大于0.4的，所以这8个变量都有用，不用删除。我们通过观察发现“基本每股收益”，“每股净资产”，“总资产报酬率”，“净资产收益率”这4个变量在自己所在行的4个成分中，都是在成分1上载荷量最大；“净利润率”在成分2上载荷量最大；‘“固定资产周转率”，“总资产周转率”在成分3上载荷量最大；“存活周转率”在成分4上载荷量最大。

注意：这里说的“最大”指的是变量在本行中，成分1，2，3，4四个中哪个成分最影响该变量。

如果觉得不太好观察，可以在SPSS中因子分析时，选项——系数显示格式勾选“按大小排序”，结果如下：

 

 

 该图表明成分1对前4个变量影响最大，成分2对第5个变量影响最大，成分3对第6、7变量影响最大，成分4对第8个变量影响最大。最后结合因子与变量对应关系，对各个因子进行重新综合命名。进行结果分析时，可以将前4个变量综合观察，从一个方面进行分析；第5个变量从一个方面分析；第6、7变量从一个方面综合分析；第8变量从一个方面分析。

3. 补充

1）一个研究项对应多个因子，此时应结合专业知识进行判断具体归属于那个因子，比如上图“每股净资产”既可归属到因子1，也可归属到因子4中，这时就需要综合考虑，需不需要做处理。

2）某研究项与因子对应关系情况，与心理预期完全不符，可考虑删除该研究项。

3）某因子和研究项无对应关系，此时可考虑减少1个因子。

4）某研究项和因子无对应关系，可考虑删除该研究。

 

二. 成分得分系数矩阵

1. 定义：因子得分矩阵表示各项指标变量与提取的公因子之间的关系，在某一公因子上得分高，表明该指标与该公因子之间关系越密切。假设X1为指标变量1，a11、a12、a13分别为与变量X1在同一行的因子载荷，F1、F2、F3分别为提取的公因子；通过因子得分矩阵可以得到公因子的线性组合，如F1=a11*X1+a21*X2+a31*X3。

2. 适用范围：成分得分系数矩阵一般用于权重计算，对提取因子或分析变量与因子对应关系，意义不大。

3. 举例：

已知变量从上至下符号为x1,···,x8

 如上图所示可以得到每个成分的公因子线性组合：

F1=0.342X₁^*+0.36X₂^*+0.34X₃^*-0.09X₄^*+0.244X₅^*-0.228X₆^*-0.117X₇^*+0.207X₈^*

F2=-0.16X₁^*-0.424X₂^*-0.029X₃^*+0.691X₄^*+0.152X₅^*+0.179X₆^*+0.345X₇^*-0.529X₈^*

F3=-0.37X₁^*-0.189X₂^*-0.114X₃^*+0.25X₄^*+0.17X₅^*+0.08X₆^*+0.852X₇^*+0.228X₈^*

F4=0.02X₁^*+0.142X₂^*-0.34X₃^*+0.068X₄^*-0.086X₅^*+0.938X₆^*+0.07X₇^*-0.11X₈^*

注意：想要得出综合得分F就要对总方差解释表进行分析

1) 补充

 

 F=39.738/90.856F1+19.018/90.856F2+17.217/90.856F3+14.883/90.856F4=0.4374F1+0.2093F2+0.1895F3+0.1628F4

注意：

1）. 因子分析用旋转后的方差贡献率做被除数，主成分提取用提取的方差贡献率做被除数。

2）计算公因子前要查看数据的量纲和取值范围，量纲（单位）或取值范围不同都要先将数据进行标准化，再求特征值，累计贡献率，进而得到公因子。

 

三.同异

1. 成分矩阵和旋转成分矩阵

1)  在SPSS中主成分分析包含在因子分析中，因子分析——选项——提取——主成分，就会生成成分矩阵。因子分析——旋转——方法——选择“最大方差法”等方法（选择了正交或斜交旋转）才会产生“旋转成分矩阵”。

2)  “成分矩阵”是主成分分析法得到的,“旋转成分矩阵”是因子分析得到的，两者没有什么关系。

2. 成分矩阵和成分得分矩阵

1) 如果根据成分矩阵中的载荷得到X1=a11*F1+a12*F2+a13*F3（X_i为变量；a_ij为载荷；F_j为公因子）；那么旋转成分矩阵得到F1=a11*X1+a21*X2+a31*X3（符号同前面定义）。

2) 主成分是因子分析的一种特例，二者有共性也有特性。如果你进行了旋转那么一定是进行的因子分析，只是你进行该分析的时候采用的是主成分方法，这样做的目的是能够更好的解释归纳出的因子。