无风无影

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树、二叉树、平衡二叉树、B-Tree、B+Tree

一、树

　　 定义：树（Tree）是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

　　1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
　　2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

　　此外，树的定义还需要强调以下两点：
　　1）n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
　　2）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

　　结点的度：结点拥有的子树数目称为结点的度。

　　结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
　　如下图：A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。结点B与结点C互为兄弟结点。
　   树的深度：树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。下图所示树的深度为4。

　　下图为一棵普通的树：

       

 

二、二叉树

　　二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

　　二叉树特点

  • 1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
  • 2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
  • 3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

　　二叉树性质

  • 1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1）
  • 2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
  • 3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
  • 4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
  • 5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：

(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

　　下图为一棵二叉树：
 
　　        

 

 

　　满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
　　满二叉树的特点有：
  • 1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
  • 2）非叶子结点的度一定是2。
  • 3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
　　

 

 　　完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。


　　

  • 特点：
  • 1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
  • 2）最下层的叶子结点集中在树的左部。
  • 3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
  • 4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
  • 5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
  • 注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。

　　二叉树的存储结构：

　　顺序存储

　　二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。

　　如下图：所示的一棵完全二叉树采用顺序存储方式

　　          

 

 

 　　当二叉树为非完全二叉树时，如下图所示：

　　

 

 　　其中，∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现，顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况

　　对于这种右斜树极端情况，采用顺序存储的方式是十分浪费空间的。因此，顺序存储一般适用于完全二叉树。

　　二叉链表
　　既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求，那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。表示方式如下图所示：
　　

 

 　　如上面非完全二叉树的可以如下表示：采用一种链表结构存储二叉树，这种链表称为二叉链表。

　　


 

 

　　二叉树遍历

　　二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。
二叉树的访问次序可以分为四种：

前序遍历
中序遍历
后序遍历
层序遍历

　　前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

 　　

从根结点出发，则第一次到达结点A，故输出A;
继续向左访问，第一次访问结点B，故输出B；
按照同样规则，输出D，输出H；
当到达叶子结点H，返回到D，此时已经是第二次到达D，故不在输出D，进而向D右子树访问，D右子树不为空，则访问至I，第一次到达I，则输出I；
I为叶子结点，则返回到D，D左右子树已经访问完毕，则返回到B，进而到B右子树，第一次到达E，故输出E；
向E左子树，故输出J；
按照同样的访问规则，继续输出C、F、G；

　　所示二叉树的前序遍历输出为：ABDHIEJCFG

　　

 

 

　　

　　中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H；
H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D；
由D返回至B，第二次到达B，故输出B；
按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G；

　　上图所示二叉树的中序遍历输出为：HDIBJEAFCG
　　

　　后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H；
H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H；
由H返回至D，第二次到达D，不输出D；
继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I；
返回至D，此时第三次到达D，故输出D；
按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A；

　　上图所示二叉树的后序遍历输出为：HIDJEBFGCA

三、平衡二叉树
　　平衡二叉树定义(AVL)：它或者是一颗空树，或者具有以下性质的二叉排序树：它的左子树和右子树的深度之差(平衡因子)的绝对值不超过1，且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。

　　一棵AVL树有如下必要条件：

  •  条件一：它必须是二叉查找树。
  • 条件二：每个节点的左子树和右子树的高度差至多为1。　　

　　平衡因子：将二叉树上节点的左子树高度减去右子树高度的值称为该节点的平衡因子BF(Balance Factor)。

　　最小不平衡子树：距离插入节点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的节点为根的子树.
 
　　

 

 　　左边二叉树的节点45的BF = 1，插入节点43后，节点45的BF = 2。节点45是距离插入点43最近的BF不在[-1,1]范围内的节点，因此以节点45为根的子树为最小不平衡子树。

　　AVL树的平衡调整：

　　整个实现过程是通过在一棵平衡二叉树中依次插入元素(按照二叉排序树的方式)，若出现不平衡，则要根据新插入的结点与最低不平衡结点的位置关系进行相应的调整。分为LL型、RR型、LR型和RL型4种类型，各调整方法如下(下面用A表示最低不平衡结点)：

　　LL型调整的一般形式如下图2所示，表示在A的左孩子B的左子树BL(不一定为空)中插入结点(图中阴影部分所示)而导致不平衡( h 表示子树的深度)。这种情况调整如下：①将A的左孩子B提升为新的根结点；②将原来的根结点A降为B的右孩子；③各子树按大小关系连接(BL和AR不变，BR调整为A的左子树)。

　　                               

 　　

　　RR型调整的一般形式如下图4所示，表示在A的右孩子B的右子树BR(不一定为空)中插入结点(图中阴影部分所示)而导致不平衡( h 表示子树的深度)。这种情况调整如下：

  • 将A的右孩子B提升为新的根结点；
  • 将原来的根结点A降为B的左孩子
  • 各子树按大小关系连接(AL和BR不变，BL调整为A的右子树)。

 

                

 

 

 

 

　　LR型调整的一般形式如下图6所示，表示在A的左孩子B的右子树(根结点为C，不一定为空)中插入结点(图中两个阴影部分之一)而导致不平衡( h 表示子树的深度)。这种情况调整如下：①将B的左孩子C提升为新的根结点；②将原来的根结点A降为C的右孩子；③各子树按大小关系连接(BL和AR不变，CL和CR分别调整为B的右子树和A的左子树)。

 

       

 

 

　　RL型调整的一般形式如下图8所示，表示在A的右孩子B的左子树(根结点为C，不一定为空)中插入结点(图中两个阴影部分之一)而导致不平衡( h 表示子树的深度)。这种情况调整如下：①将B的左孩子C提升为新的根结点；②将原来的根结点A降为C的左孩子；③各子树按大小关系连接(AL和BR不变，CL和CR分别调整为A的右子树和B的左子树)。
　　        

 

 

 四、B-Tree

　　B-Tree结构的数据可以让系统高效的找到数据所在的磁盘块。为了描述B-Tree，首先定义一条记录为一个二元组[key, data] ，key为记录的键值，对应表中的主键值，data为一行记录中除主键外的数据。对于不同的记录，key值互不相同。

  • 1、树中每个节点含有最多m个孩子(m > 2)。
  • 2、每个节点可以携带多个key ，并且m（树的度）/2<keyCount(节点的key数量)<=m-1
  • 3、深度较小,只有Logm((KeyCount+1)/2)  检索一个key的复杂度为：O(LogmKeyCount)
  • 4、所有的叶子结点都位于同一层。

 五、B+Tree

　　B+Tree是在B-Tree基础上的一种优化，使其更适合实现外存储索引结构，InnoDB存储引擎就是用B+Tree实现其索引结构。

　   B-Tree每个节点中不仅包含数据的key值，还有data值。而每一个页的存储空间是有限的，如果data数据较大时将会导致每个节点（即一个页）能存储的key的数量很小，当存储的数据量很大时同样会导致B-Tree的深度较大，增大查询时的磁盘I/O次数，进而影响查询效率。在B+Tree中，所有数据记录节点都是按照键值大小顺序存放在同一层的叶子节点上，而非叶子节点上只存储key值信息，这样可以大大加大每个节点存储的key值数量，降低B+Tree的高度。

　　B+Tree在MyISAM索引实现：叶节点的data域存放的是数据记录的地址；即MyISAM索引文件和数据文件是分离的，索引文件仅保存数据记录的地址。

　　在InnoDB中，表数据文件本身就是按B+Tree组织的一个索引结构，这棵树的叶节点data域保存了完整的数据记录。叶节点包含了完整的数据记录。这种索引叫做聚集索引。因为InnoDB的数据文件本身要按主键聚集，所以InnoDB要求表必须有主键（MyISAM可以没有），如果没有显式指定，则MySQL系统会自动选择一个可以唯一标识数据记录的列作为主键，如果不存在这种列，则MySQL自动为InnoDB表生成一个隐含字段作为主键，这个字段长度为6个字节，类型为长整形。聚集索引这种实现方式使得按主键的搜索十分高效，但是辅助索引搜索需要检索两遍索引：首先检索辅助索引获得主键，然后用主键到主索引中检索获得记录。

 

 　

                     

 

 

　　B-Tree和B+Tree的区别：

　　1、B+Tree叶子节点之间有链表指针

　　2、B+Tree叶子节点存储数据层，B-Tree存储在每个节点；所以B-Tree可以在非叶子节点命中。

 

　　问：为什么数据库使用B树和B+树

　　答：mysql是基于磁盘的数据库，索引是以索引文件的形式存在于磁盘中的，索引的查找过程就会涉及到磁盘IO(为什么涉及到磁盘IO请看文章后面的附加理解部分)消耗，磁盘IO的消耗相比较于内存IO的消耗要高好几个数量级，所以索引的组织结构要设计得在查找关键字时要尽量减少磁盘IO的次数。为什么要使用B/B+树，跟磁盘的存储原理有关。
　　　局部性原理：当一个数据被用到时，其附近的数据也通常会马上被使用,程序运行期间所需要的数据通常比较集中。
　　　磁盘预读：由于磁盘顺序读取的效率很高(不需要寻道时间，只需很少的旋转时间)，因此对于具有局部性的程序来说，预读可以提高I/O效率.预读的长度一般为页(page)的整倍数。
 
　　问、为什么mysql的索引使用B+树而不是B树呢
  • 　　（1）B+树更适合外部存储(一般指磁盘存储),由于内节点(非叶子节点)不存储data，所以一个节点可以存储更多的内节点，每个节点能索引的范围更大更精确。也就是说使用B+树单次磁盘IO的信息量相比较B树更大，IO效率更高。
  • 　　（2）mysql是关系型数据库，经常会按照区间来访问某个索引列，B+树的叶子节点间按顺序建立了链指针，加强了区间访问性，所以B+树对索引列上的区间范围查询很友好。而B树每个节点的key和data在一起，无法进行区间查找。
 

　问：为什么说B+树比B树更适合数据库索引？

  • 1、 B+树的磁盘读写代价更低：B+树的内部节点并没有指向关键字具体信息的指针，因此其内部节点相对B树更小，如果把所有同一内部节点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多，一次性读入内存的需要查找的关键字也就越多，相对IO读写次数就降低了。
  • 2、B+树的查询效率更加稳定：由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。
  • 3、由于B+树的数据都存储在叶子结点中，分支结点均为索引，方便扫库，只需要扫一遍叶子结点即可，但是B树因为其分支结点同样存储着数据，我们要找到具体的数据，需要进行一次中序遍历按序来扫，所以B+树更加适合在区间查询的情况，所以通常B+树用于数据库索引。
　　

　　问：为什么不建议使用过长的字段作为主键？
因为所有辅助索引都引用主索引，过长的主索引会令辅助索引变得过大。

  • 在InnoDB中不要用非单调的字段作为主键。
    因为InnoDB数据文件本身是一颗B+Tree，非单调的主键会造成在插入新记录时数据文件为了维持B+Tree的特性而频繁的分裂调整，十分低效，而使用自增字段作为主键则是一个很好的选择。

　　为什么InnoDB表必须有主键，并且推荐使用整型的自增主键？

  • 首先，为了满足MySQL的索引数据结构B+树的特性，必须要有索引作为主键，可以有效提高查询效率，因此InnoDB必须要有主键。如果不手动指定主键，InnoDB会从插入的数据中找出不重复的一列作为主键索引，如果没找到不重复的一列，InnoDB会在后台增加一列rowId做为主键索引。
  • 其次，索引的数据类型是整型，一方面整型占有的磁盘空间或内存空间相比字符串更少，另一方面整型比较比字符串比较更快速，字符串比较是先转换为ASCII码，然后再比较的。
  • 最后，B+树本质是多路多叉树，如果主键索引不是自增的，那么后续插入的索引就会引起B+树的其他节点的分裂和重新平衡，影响数据插入的效率，如果是自增主键，只用在尾节点做增加就可以。

　　为什么非主键索引结构叶子节点存储的是主键值？

  • 主键索引和非主键索引维护各自的B+树结构，当插入的数据的时候，由于数据只有一份，通过非主键索引获取到主键值，然后再去主键索引的B+树数据结构中找到对应的行数据，节省了内存空间；
  • 如果非主键索引的叶子节点也存储一份数据，如果通过非主键索引插入数据，那么要向主键索引对应的行数据进行同步，那么会带来数据一致性问题。可以通过事务的方式解决，我们都知道使用事务后，就会对性能有所消耗。

 六、Hash

　　Hash 索引结构的特殊性，其检索效率非常高，索引的检索可以一次定位，不像B-Tree 索引需要从根节点到枝节点，最后才能访问到页节点这样多次的IO访问，所以 Hash 索引的查询效率要远高于 B-Tree 索引。虽然 Hash 索引效率高，但是 Hash 索引本身由于其特殊性也带来了很多限制和弊端，代表数据库：redis、memcache等。

　　既然Hash 索引的效率要比 B-Tree 高很多，为什么大家不都用 Hash 索引而还要使用 B-Tree索引呢？弊端如下：

  • 1. Hash索引仅仅能满足"=","IN"和"<=>"查询，不能使用范围查询。
  • 由于 Hash 索引比较的是进行 Hash 运算之后的 Hash值，所以它只能用于等值的过滤，不能用于基于范围的过滤，因为经过相应的 Hash算法处理之后的 Hash 值的大小关系，并不能保证和Hash运算前完全一样。
  • 2. Hash 索引无法被用来避免数据的排序操作。
  • 由于 Hash 索引中存放的是经过 Hash 计算之后的 Hash值，而且Hash值的大小关系并不一定和 Hash运算前的键值完全一样，所以数据库无法利用索引的数据来避免任何排序运算；
  • 3. Hash索引不能利用部分索引键查询。
  • 对于组合索引，Hash 索引在计算 Hash 值的时候是组合索引键合并后再一起计算 Hash 值，而不是单独计算 Hash值，所以通过组合索引的前面一个或几个索引键进行查询的时候，Hash 索引也无法被利用。
  • 4. Hash索引在任何时候都不能避免表扫描。
  • 前面已经知道，Hash 索引是将索引键通过 Hash 运算之后，将 Hash运算结果的 Hash值和所对应的行指针信息存放于一个 Hash 表中，由于不同索引键存在相同 Hash 值，所以即使取满足某个 Hash 键值的数据的记录条数，也无法从 Hash索引中直接完成查询，还是要通过访问表中的实际数据进行相应的比较，并得到相应的结果。
  • 5. Hash索引遇到大量Hash值相等的情况后性能并不一定就会比B-Tree索引高。
  • 选择性比较低的索引键，如果创建 Hash 索引，那么将会存在大量记录指针信息存于同一个Hash值相关联。这样要定位某一条记录时就会非常麻烦，会浪费多次表数据的访问，而造成整体性能低下
七、红黑树

　　本质二叉树，属于二叉平衡树，jdk1.8 hashmap的底层实现；存储大数据量，树的高度不可控， 数量越大，树的高度越高；500w行数据，2的n次方=500w数据量， n是树的高度，也就是查询次数；

 　　

　　问：为什么索引结构默认使用B-Tree，而不是hash，二叉树，红黑树？

  • hash：虽然可以快速定位，但是没有顺序，IO复杂度高。
  • 二叉树：树的高度不均匀，不能自平衡，查找效率跟数据有关（树的高度），并且IO代价高。
  • 红黑树：树的高度随着数据量增加而增加，IO代价高。

　　问：为什么官方建议使用自增长主键作为索引。

　　结合B+Tree的特点，自增主键是连续的，在插入过程中尽量减少页分裂，即使要进行页分裂，也只会分裂很少一部分。并且能减少数据的移动，每次插入都是插入到最后。总之就是减少分裂和移动的频率。

 

参考链接：https://www.jianshu.com/p/bf73c8d50dc2
　　　　    

 

posted on 2019-12-05 19:02  NWNS-无风无影  阅读(403)  评论(0)    收藏  举报