酉矩阵定义性质与应用

目录

• 定义
• 性质
• 量子计算中的酉矩阵
• 验证矩阵是否为酉矩阵

酉矩阵是线性代数中的一种矩阵类型，在信号处理中有广泛的应用。

定义

酉矩阵：是一个复矩阵$U$，满足：

$$U^*U=UU^*=I$$

其中$U^*$表示复矩阵$U$的共轭转置，matlab中的$`$表示就是共轭转置运算，若只是转置，用transpose函数，请看：

当$U=\begin{bmatrix}1+2i & 2+3i\\ 3+4i & 4+5i\end{bmatrix}$时，

A=[1+2i 2+3i;3+4i 4+5i]
A =
   1 + 2i   2 + 3i
   3 + 4i   4 + 5i

octave:2> A'
ans =
   1 - 2i   3 - 4i
   2 - 3i   4 - 5i

octave:3> transpose(A)
ans =
   1 + 2i   3 + 4i
   2 + 3i   4 + 5i

octave:4> inv(A)
ans =
  -1.2500 + 1.0000i   0.7500 - 0.5000i
   1.0000 - 0.7500i  -0.5000 + 0.2500i

也就是说，共轭转置就是先共轭元算后再转置，或者先转置再共轭运算，需要两部操作，若为实矩阵时，共轭转置就和转置结果一样而已。若要确保运算结果为转置，请使用transpose函数。

根据定义可以确定，所谓的酉矩阵就是共轭转置矩阵与矩阵的逆相等的矩阵。

性质

• 保持内积不变：酉矩阵保持向量的内积不变，即对任意向量$v$和$w$，有$\lang Uv, \ \ Uw\rang=\lang v,\ \ w\rang$;
• 特征值恒定为1：酉矩阵特特征值模长为1，若$\lambda$为$U$的特征值，那么$\lvert\lambda \rvert=1$；
• 规范性：酉矩阵的列向量和行向量都是单位向量，且互相正交。也就是说每列向量模为1，不同列向量内积为0；
• 稳定性：酉矩阵的模不变性在物理学中很重要。在量子力学中，表明量子态的演变是稳定的，不改变量子态的整体性质的。

量子计算中的酉矩阵

量子计算中，酉矩阵常用来表量子比特的状态演化。例如，一个量子比特的状态可表示为向量$\psi=\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix}$，$\alpha,\beta$为复数，且满足$\lvert\alpha\rvert^2+\lvert\beta\rvert^2=1$。假如有一个量子门操作，$U$为一个酉矩阵，其中帕里矩阵(Hadamard gate)是一个常用的量子门：

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

当应用这个量子门$H$到量子比特状态$\psi$上，得到新的量子状态：

$$\psi^`=H\psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}\alpha+\beta \\ \alpha-\beta \end{pmatrix}$$

新的量子状态$\psi^`$是通过酉矩阵$H$实现的，酉矩阵变换中的规范和稳定的，因此，新状态的模保持不变，依旧为1。

验证矩阵是否为酉矩阵

假设有矩阵$U=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&1&1 \\ 1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1 \end{pmatrix}$，该矩阵是一个实数阵，其实也是一个对称矩阵，因此共轭转置与转置是相同的。请验证其是否为酉矩阵。

• 计算$U$的共轭转置矩阵$U^T=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&1&1 \\ 1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1 \end{pmatrix}$
• 计算$U^TU=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}4&0&0&0 \\ 0&4&0&0\\0&0&4&0\\0&0&0&4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}=I$

符合酉矩阵的定义，因此$U$为酉矩阵。

其他特殊函数：https://zhuanlan.zhihu.com/p/7638737882