两种方法求一定范围内的所有质数

一般来说，判断一个正整数n是不是质数，通常我们的办法是：

1 将n用2~n-1来整除，如果能被整除，则不是质数；

2 对方法1优化一下，除数上限可以由n-1缩小到n^0.5；

判断某一个数差不多用上面的方法，按现在计算机的速度，就是一眨眼的功夫就计算出来了。

 

现在，我们需要求2~n中所有的质数，怎么办呢？

一种比较笨的方法，也就是参考求单个质数的办法写的程序，即是让i循环取2~n的值，用i整除比它小的所有质数来判断i是否是质数，如果都不可整除，则i是质数。

源代码如下：

/*
 用质数相除法求所有质数的算法
 bocai @ 2012.08.15

 目前测试用时如下：
MAXI	time(s)
2^24	8
2^25	28
2^26	55
速度比筛选法慢多了。

*/

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <iostream>
#include "time.h"

using namespace std;

int main(void)
{
	// 理论：一个数是质数，则它一定不能被小于它的质数所整除
	const size_t maxI = 67108864;// 2^26 测试上限

	vector<int> czs; // 当前算出来的质数
	czs.reserve(maxI / 20); // 当maxi较大时，质数量一般小于5%
	czs.push_back(2); // 2先放进去

	size_t index; // 索引变量
	bool isIzs; // 当前验证的数是否是质数

	size_t sqrg = 2; // 平方计数
	size_t sqrs = (size_t)pow(sqrg, 2); // 平方数

	size_t i = 3; // 从2开始算质数
	cout << "start time: " << time(NULL) <<endl;
	while(i < maxI)
	{
		index = 0;
		isIzs = true; // 标识i是否是质数

		while(czs[index] < sqrg) // 还可以验证的质因数 注意index++
		{
			if(i % czs[index] == 0) // 被整除
			{
				isIzs = false; // 被整除，则不是质数
				break;
			}
			index++;
		}

		if(isIzs && i != sqrs)
		{
			czs.push_back(i);
		}

		if(i == sqrs) // 达到了计数
		{
			sqrg++;
			sqrs = (int)pow(sqrg, 2);
		}

		i++;
	}
	cout << "end time: " << time(NULL) <<endl;
	cout << " max i:" << maxI << " count:" << czs.size() << endl;
/*	for(i = 0; i < czs.size(); i++)
	{
		cout << "\t" << czs[i];
	}
*/
	return 0;
}

一看这样不行啊，在虚拟机中，才2^26次方就用了55秒，太慢了。

上网一查，说是最快的方法是筛选法，于是研究一下，实现之，果然快了。筛选法的源码如下：

/*
 用筛选法求所有质数的算法
 bocai @ 2012.08.15

 目前测试用时如下：
MAXI	time(s)
2^24	3
2^25	8
2^26	12
2^27	26
2^28	52
2^29	108
2^30	222
2^31	514
2^32	982

*/

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <iostream>
#include "time.h"
#include <bitset>

using namespace std;

int main(void)
{
//	#define MAXI 2147483648 // 2^31
	const size_t MAXI = 4294967295; // 2^32-1

	bitset<MAXI> *bs = new bitset<MAXI>(); // 为1表示当前索引所表示的数为质数
	bs->set(); // 预置所有位都为1
	bs->reset(0); // 置0索引0 1
	bs->reset(1);
	size_t pos = 2;
	size_t npos; // pos的倍数索引

	cout << "start time: " << time(NULL) <<endl;
	while(pos < MAXI)
	{
		if(bs->test(pos)) // pos是质数，把后面它的倍数的全置0
		{
			npos = pos + pos; // 从2倍起
			while(npos > pos // 预防溢出情况
				&& npos < MAXI)
			{
				bs->reset(npos);
				npos += pos; // 循环
			}
		}
		pos++;
	}
	cout << "end time: " << time(NULL) <<endl;
	cout << " max i:" << (MAXI - 1) << " count:" << bs->count() << endl;
/*	for(int i = 2; i < bs.size(); i++)
	{
		if(bs.test(i))
		{
			cout << "\t" << i;
		}
	}
*/
	return 0;
}

在源代码级别不知还有没优化的地方，请多指教。