堆与优先队列

堆（heaps）是一种特殊的数据组织方式，STL 中的 priority_queue 容器适配器底层就是采用堆来组织数据存储的。为了弄明白堆是什么，首先要搞清楚什么是树存储结构。

本节就来学习C++中点的堆于优先队列。

堆

基本概念

堆（heap）是一种非常重要的数据结构（这里我们讨论的是二叉堆），它是一棵满足特定条件的完全二叉树，堆的定义如下：

堆是一棵树完全二叉树，对于该完全二叉树中的每一个结点x，其关键字大于等于(或小于等于）其左右孩子结点，而其左右子树均为一个二叉堆。

在上述的定义中，若堆中父亲结点关键字的值大于等于孩子结点，则称该堆为大顶堆；若堆中父亲结点关键子的值小于等于孩子结点，则称该堆为小顶堆。

由于堆是一棵完全二叉树，所以我们可以很轻易地用一个数组存储堆中的每一个元素，并且由子结点访问到其父亲结点和由父亲结点访问到其子结点

堆是一种用于查找最大值/最小值的二叉树
支持添加/减少数据，添加/删除的复杂度是O(logn)，查找的复杂度是O(1)
堆的结构：

大根堆：顾名思义，根结点的值比两个子结点都大.
小根堆：顾名思义，根节点的值比两个子结点都小.
堆中结点序号：若根节点序号为1，则根节点的左结点为2（12），右结点为3（12+1）。堆的全部结点均满足该性质.

STL基本操作

a.size(); //返回堆内元素个数。
a.empty();//如果堆为空，返回真，否则返回假。
a.top();//返回堆顶元素。
a.pop();//删除堆顶元素，自动整理。
a.push(x);//插入一个元素x，自动整理。

优先队列

基本概念

先来回顾一下队列，队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构，它的本质是一个线性表，只能在表的一端插入值，在表的另一端删除值。

• 队尾（rear）：允许插入的一端；
• 队头（front）：允许删除的一端。

优先队列也是一种队列，与队列不同的是，优先队列不再遵循先入先出的原则，而是分成了两种情况：

• 最大优先队列，无论入队顺序，当前最大的元素优先出队。
• 最小优先队列，无论入队顺序，当前最小的元素优先出队。

对于最小优先队列，队列中的每个元素都有一个权值，权值小的优先出队。假如我们将自身的数值作为权值，那么最小优先队列中较小的数会排在队列的前面，当加入一个新值 3 时，3 会在队列中处于合适的位置。

当进行出队操作时，每次会从队首弹出队列中最小的元素：

最大优先队列则与之相反，最先弹出队列中最大的元素。

事实上，优先队列的本质上是一个堆，它是一棵完全二叉树，分为小顶堆和大顶堆：

• 小顶堆是每一个根节点小于左右子节点的完全二叉树，堆顶元素最小，对应最小优先队列；
• 大顶堆是每一个根节点大于左右子节点的完全二叉树，堆顶元素最大，对应最大优先队列；

由于删除堆顶元素时的时间复杂度为 $O(\log N)$，因此在优先队列中入队和出队操作的时间复杂度也是 $O(\log N)$。

基本操作

应用示例

面试题41. 数据流中的中位数

题目描述

如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

例如，

[2,3,4] 的中位数是 3

[2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5

设计一个支持以下两种操作的数据结构：

• void addNum(int num) - 从数据流中添加一个整数到数据结构中。
• double findMedian() - 返回目前所有元素的中位数。

示例 1：

输入：
["MedianFinder","addNum","addNum","findMedian","addNum","findMedian"]
[[],[1],[2],[],[3],[]]
输出：[null,null,null,1.50000,null,2.00000]

示例 2：

输入：
["MedianFinder","addNum","findMedian","addNum","findMedian"]
[[],[2],[],[3],[]]
输出：[null,null,2.00000,null,2.50000]

解法

思路：使用堆和优先队列

我们将中位数左边的数保存在大顶堆中，右边的数保存在小顶堆中。这样我们可以在O(1) 时间内得到中位数。

class MedianFinder {
    priority_queue<int> lo;                              // 大顶堆
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> hi;   // 小顶堆

public:
    // Adds a number into the data structure.
    void addNum(int num)
    {
        lo.push(num);                                    // 加到大顶堆

        hi.push(lo.top());                               // 平衡
        lo.pop();

        if (lo.size() < hi.size()) {                     // 维护两个堆元素个数
            lo.push(hi.top());
            hi.pop();
        }
    }

    // Returns the median of current data stream
    double findMedian()
    {
        return lo.size() > hi.size() ? (double) lo.top() : (lo.top() + hi.top()) * 0.5;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(logn)。堆插入和删除需要O(logn)，查找中位数需要 O(1)。
空间复杂度：O(n)。