LC 6. Z 字形变换

1. 问题描述

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将一个给定字符串 s 根据给定的行数 numRows，以从上往下、从左到右进行 Z 字形排列。s 由英文字母（小写和大写）、',' 和 '.' 组成。

比如输入字符串为 "PAYPALISHIRING" 行数为 3 时，排列如下：

P   A   H   N
A P L S I I G
Y   I   R

之后，你的输出需要从左往右逐行读取，产生出一个新的字符串，比如:"PAHNAPLSIIGYIR"。

请你实现这个将字符串进行指定行数变换的函数：string convert(string s, int numRows);

示例 1：
输入：s = "PAYPALISHIRING", numRows = 3
输出："PAHNAPLSIIGYIR"
 
示例 2：
输入：s = "PAYPALISHIRING", numRows = 4
输出："PINALSIGYAHRPI"
解释：
P     I    N
A   L S  I G
Y A   H R
P     I
 
示例 3：
输入：s = "A", numRows = 1
输出："A"

2. 题解

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方法一、利用二维矩阵模拟(不推荐)

设 n 为字符串 s 的长度，r=numRows。对于 r=1（只有一行）或者 r≥n（只有一列）的情况，答案与 s 相同，可以直接返回 s。对于其余情况，考虑创建一个二维矩阵，然后在矩阵上按 Z 字形填写字符串 s，最后逐行扫描矩阵中的非空字符，组成答案。

根据题意，当在矩阵上填写字符时，会向下填写 r 个字符，然后向右上继续填写 r−2 个字符，最后回到第一行，因此 Z 字形变换的周期 t=r+r-2=2r-2，每个周期会占用矩阵上的 1+r-2=r-1 列。

因此有 ⌈t/n⌉ 个周期（最后一个周期视作完整周期），乘上每个周期的列数，得到矩阵的列数 c=⌈t/n⌉⋅(r−1)。

创建一个 r 行 c 列的矩阵，然后遍历字符串 s 并按 Z 字形填写。具体来说，设当前填写的位置为 (x,y)，即矩阵的 x 行 y 列。初始 (x,y)=(0,0)，即矩阵左上角。若当前字符下标 i 满足 i mod t<r−1，则向下移动，否则向右上移动。

填写完成后，逐行扫描矩阵中的非空字符，组成答案。

class Solution {
    public String convert(String s, int numRows) {
        int n = s.length(), r = numRows;
        if (r == 1 || r >= n) {
            return s;
        }
        int t = r * 2 - 2;
        int c = (n / t + 1) * (r - 1);
        char[][] mat = new char[r][c];
        for (int i = 0, x = 0, y = 0; i < n; ++i) {
            mat[x][y] = s.charAt(i);
            if (i % t < r - 1) {
                ++x; // 向下移动
            } else {
                --x;
                ++y; // 向右上移动
            }
        }
        StringBuffer ans = new StringBuffer();
        for (char[] row : mat) {
            for (char ch : row) {
                if (ch != 0) {
                    ans.append(ch);
                }
            }
        }
        return ans.toString();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(r⋅n)，其中 r=numRows，n 为字符串 s 的长度。时间主要消耗在矩阵的创建和遍历上，矩阵的行数为 r，列数可以视为 O(n)。

• 空间复杂度：O(r⋅n)。矩阵需要 O(r⋅n) 的空间。

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方法二、压缩矩阵空间

方法一中的矩阵有大量的空间没有被使用，能否优化呢？

注意到每次往矩阵的某一行添加字符时，都会添加到该行上一个字符的右侧，且最后组成答案时只会用到每行的非空字符。因此可以将矩阵的每行初始化为一个空列表，每次向某一行添加字符时，添加到该行的列表末尾即可。

class Solution {
    public String convert(String s, int numRows) {
        int n = s.length(), r = numRows;
        if (r == 1 || r >= n) {
            return s;
        }
        StringBuffer[] mat = new StringBuffer[r];
        for (int i = 0; i < r; ++i) {
            //对每一项初始化
            mat[i] = new StringBuffer();
        }
        for (int i = 0, x = 0, t = r * 2 - 2; i < n; ++i) {
            mat[x].append(s.charAt(i));
            if (i % t < r - 1) {
                ++x;
            } else {
                --x;
            }
        }
        StringBuffer ans = new StringBuffer();
        for (StringBuffer row : mat) {
            ans.append(row);
        }
        return ans.toString();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。

• 空间复杂度：O(n)。压缩后的矩阵需要 O(n) 的空间。

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方法三、直接构造

研究方法一中矩阵的每个非空字符会对应到 s 的哪个下标（记作idx），从而直接构造出答案。

由于 Z 字形变换的周期为 t=2r-2，因此对于矩阵第一行的非空字符，其对应的 idx 均为 t 的倍数，即 idx≡0(modt)；同理，对于矩阵最后一行的非空字符，应满足 idx≡r−1(modt)。

对于矩阵的其余行（行号设为 i），每个周期内有两个字符，第一个字符满足 idx≡i(modt)，第二个字符满足 idx≡t−i(modt)。

0             0+t                    0+2t                     0+3t
1      t-1    1+t            0+2t-1  1+2t            0+3t-1   1+3t
2  t-2        2+t  0+2t-2            2+2t  0+3t-2             2+3t  
3             3+t                    3+2t                     3+3t

class Solution {
public:
    string convert(string s, int numRows) {
        int n = s.length(), r = numRows;
        if (r == 1 || r >= n) {
            return s;
        }
        string ans;
        int t = r * 2 - 2;
        for (int i = 0; i < r; ++i) { // 枚举矩阵的行
            for (int j = 0; j + i < n; j += t) { // 枚举每个周期的起始下标
                ans += s[j + i]; // 当前周期的第一个字符
                if (0 < i && i < r - 1 && j + t - i < n) {
                    ans += s[j + t - i]; // 当前周期的第二个字符
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 为字符串 s 的长度。s 中的每个字符仅会被访问一次，因此时间复杂度为 O(n)。

• 空间复杂度：O(1)。返回值不计入空间复杂度。