单源最短路径——Python分支限界算法实现

分支界限算法 之单源最短路径

题目简述：

分支限界具体见百度。

分支界限算法核心思想：
在每次分支后，对凡是界限超出已知可行解值那些子集不再做进一步分支。这样，解的许多子集（即搜索树上的许多结点）就可以不予考虑了，从而缩小了搜索范围。

个人理解：
什么叫分支限界？演示如下:（以ＦＩＦＯ队列方法做演示）
１.将这个图转化成树的形式，如下所示：

创建队列。
１．节点１入队列，Ｑ＝｛１｝。
我们取出队头节点，作为扩散节点，更新他的后代的值。
　此题中更新节点２，３，４　的距离，并将他们加入队列，Ｑ＝｛１，２，３，４｝。
完成后节点１出队。Ｑ＝｛２，３，４｝。
２.　同样，重复１的步骤，Ｑ＝｛３，４，５，６｝；
３.　当我们取到节点３时，我们发现源点－＞节点３－＞节点６的距离为１１，
大于　１－２－６　这条路径的权重，所以１－３－６这条路径之后我们不再考虑。
这就是“限界”（称为”剪枝“）的思想。
４.　重复步骤，直到Ｑ为空。

优先队列法方法和FIFO方法类似，区别在于优先队列每次取队列元素中到源点距离最短的点。

# 初始化图参数 用字典初始初始化这个图
G = {1: { 2: 4, 3: 2,4:5},
     2: { 5: 7, 6: 5},
     3: {6: 9},
     4: {5: 2, 7: 7},
     5: {8: 4},
     6: {10:6},
     7: {9: 3},
     8: {10:7},
     9: {10:8},
     10:{}
    }

inf=9999
#保存源点到各点的距离，为了让顶点和下标一致，前面多了一个inf不用在意。
length=[inf,0,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf]  
Q=[]


#FIFO队列实现
def branch(G,v0):
     Q.append(v0)
     dict=G[1]
     while len(Q)!=0:
          #队列头元素出队
          head=Q[0]
          #松弛操作，并且满足条件的后代入队
          for key in dict:
               if length[head]+G[head][key]<=length[key]:
                    length[key]=length[head]+G[head][key]
                    Q.append(key)
         #松弛完毕，队头出列
          del Q[0]
          if len(Q)!=0:
               dict=G[Q[0]]


#优先队列法实现
def branch(G, v0):
     Q.append(v0)
     while len(Q) != 0:
          min=99999
          flag=0
          #找到队列中距离源点最近的点
          for v in Q:
               if min > length[v]:
                    min=length[v]
                    flag = v
          head = flag
          dict=G[head]
          #找到扩散点后进行松弛操作
          for key in dict:
               if length[head] + G[head][key] <= length[key]:
                    length[key] = length[head] + G[head][key]
                    Q.append(key)
          #松弛完毕后，该扩散点出队
          Q.remove(head)

branch(G,1)
print(length)

二者运行结果如下：
[9999, 0, 4, 2, 5, 7, 9, 12, 11, 15, 15]
头一个9999只是补位用的，不用看。

总结：其实可以看出优先队列的分支限界算法和Dijkstra算法的相似性很大，都是取离源点最近的点做扩散点，但是不同在于优先队列的分支限界可以让边权为负（但是负权环路会造成死循环），而Dijkstra不行，因为两者维护的队列的意义不同。